Lösungen zu den Aufgaben - Springer

"Kapitel 1: Lösungen 1021den Faktor 211r bei n = 0 bzw. ! bei n = 1 bzw. 4l37r bein=2.1.6.14. ReentryOberhalb der Höhe hkr, die in Aufgabe 1.6.15 bestimmtwird, liegt praktisch immer eine Kreisba~n vor, und es filtfür den Höhenverlust die Gleichung mgh = -Av3g 0 e- /Hmit der Lösung h = ho + Hln(l- t/r), wobei '=mgHI(Av3g 0 e-111lfH) ist. Für t «'nimmt h sehr langsamab wie ho- Htlc (diese Gerade würde die t-Achse erstbei t = hociH schneiden). Kurz vor' knickt die h(t)-Kurveurplötzlich abwärts. Bei'- t = cQieo würde h = 0 werden;dann gilt aber die Voraussetzung der stationären Kreisbahnnicht mehr, sondern die Bahn wird praktisch senkrecht,die Geschwindigkeit nimmt den stationären WertVst = JmgiAa an.1.6.15. Viel Lärm nm nichtsDie Bahngeschwindigkeit von Skylab ergibt sich ausv 2 I(R + h) = gR 2 (R + h) 2 zu v = 7,72km/s, die Umlaufzeitzu ' = 90,5 min. Die Startmasse der Einstufenraketewäre mo = mevfw = 4000 t (w = 2krn/s, m = 85 t). Ein solchesVerhältnis molm wäre aus Stabilitätsgründen nicht zuerreichen; selbst eine 21-Milchkanne wiegt fast 200 g, hatalso molm ~ 10. Das Mehrstufenprinzip verringert denTreibstoftbedarf, weil leere Treibstoftbehälter abgeworfenwerden. In 300 km Höhe ist die Dichte immer noch etwag 0 e-h/H ~ 10-11 kgm-3. Die Skalenhöhe H ~ 12km ~kT l(mg) entspricht T ~ 420 K. So heiß ist es in der Ionosphärein etwa 150km Höhe; darüber ist es noch heißer,darunter kühler. Dort oben erfährt Skylab eine ReibungskraftF = !Aev 2 ~ 10- 3 N, die nur P = Fv ~ 10W an Leistungverzehrt. Die kinetische Energie W = ! mv 2 = 10 12 Jwürde dort erst nach der Zeit t = W I P ~ 10 11 s verzehrtsein, also nach etwa 300 Jahren. Die Dichte in der Hochatmosphäreist aber sehr empfindlich gegen Energiezufuhr vonaußen, besonders durch den Sonnenwind, der mit der Sonnenfleckenperiodestark variiert. Wenn die Hochatmosphäreheißer wird, wächst die Skalenhöhe und damit die Dichte. Dadort nur sehr wenig Atmosphärenmasse ist, genügt schoneine geringe Energiezufuhr. Erwärmung um 40 K bringtdie Skalenhöhe auf 13 km, die Dichte steigt fast um den Faktor10, entsprechend nimmt die Lebensdauer des Satellitenab. Luft von der Dichte Qo ~ 1 kgm- 3 würde die Energie10 11 mal schneller aufzehren, die Geschwindigkeit also inwenigen Sekunden auf sehr kleine Werte herabsetzen.Wenn die ganze Bremsenergie das Material erhitzte, würdedies z. B. bei Al mit c ~ 1 kJ kg-1 K-1 über 104 K ausmachen.Die Bremsenergie verteilt sich aber auf Satellitenund durchschlagenen LuftkanaL Der Luftanteil wird bei bemanntenRaketen durch die Reentry-Technik (Hitzeschildusw.) gesteigert, was nur leichte Rotglut für die Satellitenwandungliefert. Unterhalb der Höhe hkr, wo die StationaritätsbedingungAev 2 ~ mg noch erfüllt ist, also unterhalbQkr ~ 10- 4 kg m - 3 und hkr ~ 70 km besteht Glei,ewichtzwischen Reibung und Schwerkraft, also v ~ mgiAQ,der Satellit wird entsprechend der g-Zunahme immer lang-samerund hat in Bodennähe nur noch 100 m/s. Infolge derStationarität stürzt er fast senkrecht zu Boden. Auf derganzen Erde (einschließlich Meer) leben etwa 10 Menschen!km2.Wenn 100m2 dem direkten Treffer ausgesetztsind, ist die Wahrscheinlichkeit, daß irgendein Menschsich dort befindet, 10-3, daß gerade Sie es sind, nur etwa10-13.1.7.1. SeilsicherungDie Kraft zwischen Erde und Sonne ergibt sich am schnellstenaus der Bahngeschwindigkeit der Erde: F = mv 2 IR =6. 1024 kg. 109m 2 s-2 11,5 · 1011 m = 4 · 1022 N. Ein Stahlseil,Zugfestigkeit (Jz = 200Nimm 2 , das die Gravitation ersetzensollte, müßte einen Querschnitt von 2 · 10 20 mm 2 =2 . 108 km 2 haben, also dicker sein als die ganze Erde.1. 7 .2. Geostationärer SatellitDer stationäre Satellit muß mit der gleichen Winkelgeschwindigkeitumlaufen, mit der sich die Erde dreht, alsow = 27rl86400s = 7,27 · 10-5 s-1. Er bleibt nur dann aufder Kreisbahn, wenn Zentrifugal- und Schwerkraft einanderdie Waage halten: w 2 R = GM I R 2 , alsoR =\JGMiw 2=\/6 ·10-11. 6. 102415,3 ·10-9 = 42300kmvom Erdmittelpunkt oder 36 000 km von der Erdoberfläche.Die Bahnebene des Satelliten muß durch den Erdmittelpunktgehen, ihr Schnitt mit der Erdoberfläche ist ein Großkreis.Wirklich stationär ist der Satellit nur, wenn dieser Großkreisder Äquator ist; sonst pendelt er mit der Periode 1 d zwischenNord- und Südhalbkugel hin und her. Über München könnteer also nicht stationär stehen. Der Satellit sieht etwa 160Längengrade auf dem Äquator (2a, wobei tan a =RIRErde = 6,6), drei solche Satelliten sehen also die ganzeErdoberfläche bis auf zwei Polkappen oberhalb ca. 80°Breite.1.7.3. SonnenmasseDie Erde zwingt den Mond auf eine Bahn mit dem Radius Rund der Periode T, die Sonne zwingt die Erde auf eineBahn mit dem Radius 400R und der Periode ~ l3T. DieKreisbahnbedingung fordert w 2 R "'RjT 2 "'MIR 2 oderM "' R 3 IT 2 (M: Masse des jeweiligen Zentralkörpers; diedes anderen Körpers fällt heraus; die gewonnene Beziehungist das 3. Keplersche Gesetz). Also Msonnel MErde =400 3 113 2 = 3,8. 10 5 . Hat man die Erdmasse, so folgt sofortdie Sonnenmasse zu 2 · 10 30 kg.1.7.4. G-MessungDie Kugel ist günstig, weil man genau weiß, daß sie so anzieht,als sei ihre ganze Masse im Zentrum vereinigt. Beijeder anderen Form muß man den Abstand auf einen anderenPunkt als den Mittelpunkt beziehen, und dieser Punkt kannseine Lage mit dem Abstand ändern. Das würde komplizierteRechnungen oder Eichungen erfordern. An einem Torsionsdrahtvom Durchmesser d aus einem Material mit der Zug-