Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIIIII1064 Lösungen zu den Aufgabenzeugt. Sie muß im stationären Fall durch die OberflächeA = 4Jrr2 dieser Kugel abfließen, und zwar gleichmäßignach allen Seiten: P = 1Jrr 3 q = -4Jrrz }, dT I dr. Der Temperaturgradientnimmt also nach außen zu: dT I dr =-qr I ( 3},). Die Temperaturverteilung ist parabolisch:T = To- qrz I(6A.). Hier ist To die Zentraltemperatur, dieja 35 °C sein soll. Wenn der ganze Haufen den Radius Rhat, verlangt der Anschluß an die LufttemperaturT, = To - qRz I ( 6A.) (in Wirklichkeit ist dieses T, ein weniggrößer als die Lufttemperatur, damit die Wärme durch Wärmeübergangabgegeben werden kann). Der notwendige Hanfenradiusist also egeben durch die liegende ParabelR = 6A.(To - T,) I q, mit den gegebenen Werten z. B.1,4m bei T 1 = 16 °C, 1m bei 25 oc.5.5.1. StirlingEs ist lnx! = .E~=zlnz. Man stelle diese Summe durchein Blockdiagramm über der x-Achse dar. Die Kurve lnxberührt diese "Treppe" an den oberen Ecken, die Kurveln(x - 1) berührt sie ebenso von unten. Also liegt die gesuchteSumme zwischen Jt In z dz = x ln x - x + 1 undJ;In(z-1)dz= J;+'lnzdz=(x+1)ln(x+1)- x-1-2ln 2 + 2. Man beachte r In z dz = X In X - X. Der Mittelwertder beiden Integrale ist x ln x - x+ ! ln x + 1 ,5 - ln 2.Wir erheben dies wieder in den Exponenten und findenx! ~xre-xvx!e 1 • 5 . Dies weicht nur durch den Faktor! e 1 ' 5 = 2,24 statt V2if = 2,51 von der offiziellen Stirling­Formel ab. Wenn man bedenkt, daß man in der Entropie immernur Logarithmen von Fakultäten benutzt, spielt dieserUnterschied keine Rolle; meist läßt man dabei sogar denFaktor y'2;X ganz weg.5.5.2. IrreversibilitätEs handelt sich hier vor allem darum, den Begriff der reversiblenFührung einer Zustandsänderung richtig zu verstehen.Er geht ja in die Definition der Entropie ein: dS = dQrev IT.In den ersten beiden Beispielen ist das einfach. Eine kleineWärmemenge dQ fließe von einem Körper mit der TemperaturT,, dessen Entropie sich dabei um dS 1 = -dQIT1 ändert,zu einem mit Tz, so daß dS2 = dQITz. Die gesamteEntropieänderung ist dS = dQ(Tz- 1 - T 1 - 1 ), was gerraudann positiv ist, wenn T1 > Tz, d. h. genau dann, wenn derProzeß von selbst abläuft. Molekular betrachtet: Wennschnelle und langsame Moleküle in Kontakt kommen, gleichensich ihre Energien aus, weil das dem wahrscheinlicherenZustand entspricht. Bei der Umwandlung einer entsprechendenArbeit in die Wärmemenge dQ entsteht die EntropiedS = dQIT. Reibung erzeugt immer Entropie. Molekularsieht dieser Prozeß z. B. so aus, daß "in Reih und Glied" marschierendeMoleküle anfangen, chaotisch durcheinanderzulaufen,was wiederum wahrscheinlicher ist als die strengeMarschordnung. Von zwei gleichen Gasmassen expandieredie eine (A) um.dV, indem sie durch langsames Wegschiebeneines Kolbens die Arbeit p dV leistet. Die andere (B)expandiere frei, nachdem man z. B. eine Trennwand weggezogenhat. Beide sind nicht im gleichen Zustand: A hat dieEnergie p dV hergeben müssen und sich abgekühlt. Um Aauf den Zustand von B zu bringen, muß man ihm die WärmemengedQ = p d V zuführen, wobei man die EntropiedS = pdV IT erzeugt. A ist damit reversibel in den gleichenZustand übergeführt worden, den B irreversibel erreicht hat.Obwohl im Fall von B keine Wärme ausgetauscht worden ist,besteht zwischen Anfangs- und Endzustand die gleiche Entropiedifferenz,die sich bei reversibler Führung ergibt. Molekular:Der Zustand "Alle Moleküle in V, keines in dV" istunwahrscheinlicher als der Zustand "Moleküle gleichmäßigüber V und dV verteilt". Wenn zwei verschiedene Gase sichmischen, ist zunächst ebenfalls von keinem Wärmeaustauschdie Rede. Die Diffusion ineinander ist ja auch nicht reversibel.Man könnte reversibel mischen, wenn man z. B. dieTrennwand durch zwei semipermeable Membranen ersetzte,die eine nur für Moleküle A, die andere nur für B durchlässig,und diese Membranen langsam auseinanderzöge. Dieeine Membran erfährt nur den Partialdruck PA des Gases A,die andere nur PB· Freigabe des Volumens 2 dV setzt also dieArbeit (pA +PB) dV = pdV frei, die zu einer Abkühlung desGemisches führt. Ersatz durch die entsprechende Wärmemengeführt zum Entropieanstieg um dS = p dV IT.5.5.3. MischungDas Rütteln (das natürlich für die thermische Bewegungsteht) hat zwei völlig verschiedene Effekte: Es ermöglichtdie Einstellung des Gleichgewichts, und es beeinflußt dieArt des Gleichgewichts. Schwächeres Rütteln bringt dieEisenspäne allmählich nach unten: Es überwiegt der Einflußder Energie, die in diesem Zustand kleiner ist. Starkes Rüttelndagegen wirbelt die Teilchen ohne Rücksicht auf ihre Schweregleichmäßig durcheinander: Es überwiegt der Einfluß derEntropie (Wahrscheinlichkeit), die in diesem Zustand größerist. Man kann die Heftigkeit des Rüttelns durch eine Temperaturkennzeichnen, so daß die mittlere Translationsenergieder Teilchen ~ kT ist. Dann kann man rein thermodynamischrechnen und die Zustände "Eisen unten - Sandoben" und "Alles gemischt" durch ihre W und S kennzeichnen.Die Kiste habe die Höhe h, die Grundfläche Aund enthalte gleiche Volumina und Anzahlen N von Spänenund Körnern. Die Energiedifferenz zwischen den Zuständenist LlW = kgh 2 A(I2Fe- 12sa), die Entropiedifferenz .-lS =k2N In 2. Welcher Zustand dem Gleichgewicht entspricht,hängt davon ab, welcher das kleinere A hat, also obLi W z T LlS oder Li W z ~ · ln 2 · BN ist ( B mittlere kinetischeEnergie eines Teilchens). Die Grenze liegt also ungefähr da,wo die kinetische Energie des Rüttelns die potentielleEnergiedifferenz ausgleicht. Im Magnetfeld ist die Lage ähnlichwie im Schwerefeld.5.5.4. Protein-Entropie IEin Mensch von 80 kg hat 16 kg Protein mit etwa 10Z6Aminosäureresten (mittlere Masse 1 ,6 · 10-25 kg). Sie sindin Proteinmolekülen von je etwa 300 Aminosäuren angeordnet.Jede solche Kette hat eine ganz bestimmte Anordnung,also die Wahrscheinlichkeit 300! ~ 10600 und dieEntropie -1 400k. Alle 3 · 10z3 Proteinketten zusammenhaben S = -5 · I0 26 k ~ 80001/K. Bei 300K bedeutet das