Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 12: Lösungen 1135und daher Absinken der Kondensationstendenz, d. h. desSchmelz- und Siedepunktes: Edelgase, aber auch Hg habenhohe Wion und tiefe Tschm und Ts.Weniger anschaulich-einfach ist die Lage bei den Atomradien.Man bestimmt sie am einfachsten aus der Dichte:Tat ~ {13m/ ( 47rQ ). Bei Kristallen und Flüssigkeiten ist derPackungsfaktor zu berücksichtigen: Es bleibt etwas "Luft"zwischen den Atomen. Im Kristallgitter kann man Atomabstände(Gitterkonstanten) sehr genau aus der Röntgenbeugungbestimmen. Für isolierte Atome gibt das van derWaals-Kovolumen das vierfache Atomvolumen. Transportphänomene,besonders die innere Reibung, liefern über diemittlere freie Weglänge den Teilchenquerschnitt Alle dieseMethoden liefern etwas verschiedene Werte; teils weil es sich·um verschiedene Arten von Wechselwirkung handelt, teilsweil überhaupt die Elektronenkonfiguration im isolierten(Gas) und gebundenen (kondensierten) Zustand verschiedenist. Der Bohr-Radius eines Elektrons der n-ten Schale im Feldder effektiven Kernladung Zeff, nämlich TJ3 = l){n 2 /Zeff, mit1"H = 0,53 A, gibt keine besonders gute Abschätzung: Für dieEdelgase ist er zu klein, für alle anderen Atome zu groß. Dasist qualitativ leicht zu verstehen: Die abgeschlossene Edelgasschaleerlaubt i. allg. keine Bindung, im flüssigen Edelgasliegen die Atome einfach nebeneinander. Da die quantenmechanischenElektronenwolken wesentlich über den Bohr­Radius, der ungefähr dem Gebiet größter Ladungsanhäufungentspricht, hinausreichen, findet man einen vergrößertenAtomradius. Alle Atome, die Bindungen miteinander eingehen,kommen einander eben deswegen näher, und zwar auszwei Gründen: Die quantenmechanischen Elektronenwolkensind etwas enger als der Bohr-Radius angibt (Abb. 16.8-16.14), und die Bindung bringt eine Neuverteilung der Elektronendichtezwischen den beiden Kernen mit sich. Der Gangder Tat ist also grob gesprochen komplementär zu dem vonWion• nur daß die Edelgase längst nicht das dem Wi 0 n-Maximumentsprechende Tat-Minimum bilden, sondern ein vielhöheres Tat haben. Andere, kleinere Abweichungen vonder Regel Tat rv nj ~ergeben sich bei jedem Unterschalenabschluß:Großes Wion• aber auch großes Tat infolge verminderterBindungstendenz. Andererseits sind die Übergangsmetallein der Mitte oder etwas hinter der Mitte derd-Schalenauffüllung ausgezeichnet durch besonders hoheKopplung zwischen den Elektronen von Nachbaratomen.Das führt bei den kleinen Atomen (Fe, Ni, Co) zur spontanenAusrichtung und zum Ferromagnetismus, bei den großen (W,Ta, Re, Hf) zu extrem hohen Schmelz- und Siedepunkten undbei den ganz großen (Os, Ir, Pt) zu besonders kleinen Tat unddamit zu extremen Dichten.Jeder Streifzug durch das Periodensystem, bewaffnet mitatomphysikalischen Prinzipien, wird Ihnen interessanteBeobachtungen und Entdeckungen erschließen.12.6.5. Vakuum-PolarisationNach der Unschärferelation darf der Energiesatz innerhalbeiner Zeit 11t umd 11 W "überzogen" werden, falls11 W · 11t ;$ n. Erzeugung eines Elektronenpaares kostetmindestens 11 W = 2moc 2 . Das Paar kann also höchstenseine Zeit At~ nj (2moc 2 ) existieren. Selbst mit Lichtgeschwindigkeitkämen die Teilchen in dieser Zeit bestenfallsbis T ~ cAt ~ nj(2moc), d.h. um eine Campton-Wellenlängedes Elektrons Xe= Te= nj(moc) weit.12.6.6. Maximale ReichweiteDie Energie 11 W = 2mc2 = 2mo c 2 / J 1 - v2 j c2 ergibt eineExistenz-Höchstdauer 11t = n~ 11 W und eine HöchstflugstreckeT = v 11t =! Tevc- 1 J1 - v 2 Lc2 . Diese Funktionvon v hat ihr Maximum bei v = cjV'i, und zwar T = Te/4.12.6. 7. Legale ÜberziehungKreisbahnbedingung mv 2 / T = Ze 2 / ( 4m:oy2) und DrehimpulsquantelungmvT = nn liefern, ausgedrückt durch Campton-WellenlängeTe= nf(moc) = 3,86 · w- 13 m, RuhenergieWo = m 0c 2 = 0,51 MeV und Feinstrukturkonstantea = e 2 j(4Jreonc) = 1 1 71 Z 2 rx 2W=--Wo--.2 n2Hieraus sieht man, daß die Paarerzeugungsenergie 2Wodurch die Bindungsenergie - W gedeckt werden kann,sobald Z = 2nja wird, d. h. erstmals (für die innersteBahn mit n = 1) für Z = 2/rx = 274. Der Bahnradius wäredann T = ! Te ~ w- 13 m, die Bahngeschwindigkeit V =nnj(mT) = 211/(mTe) = 2c. Dies zeigt, daß die nichtrelativistischeNäherung für so große Kerne längst nicht mehrstimmt. Die relativistische Rechnung gibt eine Grenzez ~ 170.12.6.8. Relativistisches Bohr-ModellAuf der Kreisbahn wird das Elektron immer transversalbeschleunigt. Die hierfür maßgebende Masse m =mo j J 1 - v2 j c2 bestimmt auch den Impuls und den Drehimpuls.Kreisbahn- und Drehimpulsbedingung lauten alsogenau wie im nichtrelativistischen Fall mv 2 = Ze 2 /(47reoT)und mvT = n/i, nur steckt in m noch v. Es fol tvjJ1-v2 jc2 =nn/(rmo), also v=cnTe/ n 2 T~+T2 .Das mv 2 in der Kreisbahnbedingung spalten wir am bestenauf in mv = nnjT und v. Dann erhalten wiralson 2 1i 2 Tec/(TJn 2 Te + T 2 ) = Ze 2 /(47reoT),r = TecJn4 j(z2a2)- 1.Natürlich ergibt sich der übliche Bohr-Radius T = Ten 2 /(Zrx)für Z « n 2 ja. Bei Z = n 2 ja schrumpft der Radius auf Nullzusammen: Oberhalb dieser Grenze hat ein punktförmigerKern nur noch Bahnen mit höherer Quantenzahl. So verschwindetdie 1 s-Bahn bei Z = 1/rx = 137. Im relativistischenFall hat Wkin = (m- mo)c 2 nichts mehr mit Wpot =-mv 2 zu tun. Die Ausrechnung liefert mit der AbkürzungZ 2 rx 2 =X die Gesamtenergie