Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIII1136 :: Lösungen zu den AufgabenX - n 2 + nV n 2 -X (W1 ~)= -Wo = -Wo 1 -- v nL- x .n-Jn2 -xnSpeziell für n = 1 wird W = -Wo(1- Vf=X). Dies erreichterst bei x = 1 (Z = 137) den Wert -Wo und wirdfür größere Z sinnlos.12.6.9. Kern-TauchbahnenEin Kern mit Z ~ 137, also A ~ 400 hat einen Radiusl)c ~ roA 1/3 ~ 9 · 10-IS m, ist also etwa 40mal kleiner alsre. Damit die innerste Bahn in den Kern eintaucht, müßtealso n 4 1(Z 2 a 2 ) -1 ~ 1140 2 sein, d.h. für n = 1 müßte Zganz wenig unter 137 liegen (nur etwa 0,3 %o). Von da abwerden aber die Bahnenergien ganz anders, nämlich siestaffeln sich äquidistant, weil im Innem des Kerns das Potentialparabolisch verläuft.12.6.10. Tauchbahnen nach BohrIm Abstand r < lK vom Zentrum wird das Elektron nurdurch die Ladung der noch innerhalb gelegenen Kugel, nämlichdie Ladung Zer 3 I I{ angezogen. Die Kreisbahnbedingungheißt demnach mv 2 Ir = Ze2 r 3 I ( 4Ksorkr 2 ). Aus derDrehimpulsbedingung folgt wieder v = nlil(mr), alson 2 /i 2 l(mr2) = Ze2r 2 l(41rBOrkr2) 1woraus sich ergibtr = (n21i2. 4Ksorkf(zc2m))l/4 = (l"ßrk)l/4'wobei l"ß der Bohr-Radius für einen Punktkern ist. Um dieBahnenergie zu bestimmen, brauchen wir das vollständigePotential. Aus der Kraft F = Ze2 r I ( 4m:orkJ folgt eine potentielleEnergie Wpot = !Ze 2 ? I(4Ksork) + a. Bei r = rK verlangtder Anschluß an das äußere Coulomb-Potential einenWert a = - ~ Ze 2 I ( 4KBorK), alsoWpot = -Ze 2 G- !r 2 /rk)I(4KBorK).Dazu kommt die kinetische Energie, die wegen !mv 2 =!Frgenauso groß ist wie das r 2 -Glied in Wpot· Die BahnenergieistW = _ ~ (~ _ r 2 ) = _ Zalic (~ _ r 2 ) .4KsorK 2 rk 1]( 2 r~Einsetzen des Bahnradius liefertWn =- Zalic (~-nli ~).rK 2 V~Wir wissen, daß der Nukleonenradius durch den Yukawa-Radius,also den Campton-Radius des Pions gegeben ist:rK = A 1 1 3 r" = A 1 I 3 Jil(mrrc).Damit folgtWn = - Wrr A 7/3 G- nm" )ZrxmeA 1/3 ·Wegen A ~ 3Z bei so schweren Kernen und W = 140 MeVkann man Wn direkt in MeV ausdrücken: Wn =-1,06Z 2 13 + 159n. Die Energiestufen sind äquidistant, wieim parabolischen Potential (Oszillatorpotential) üblich. IhrAbstand ist unabhängig von Z. Das liegt daran, daß ein Elektronvon einem wachsenden Z energetisch nicht profitiert,denn es sieht immer nur die Protonen innerhalb seinerBahn. Jedenfalls ist Wn viel größer als Wo für Werte vonZ, die hier interessieren. Demnach kann die nichtrelativistischeRechnung nicht stimmen.12.6.11. Relativistische TauchbahnenNach wie vor gilt v = cnrel J;::-n;,=2r"";'+-r""2 und Wkin =We ( J n2 r; + r2 Ir - 1), denn dies folgt allein aus der Drehimpulsbedingung.Jetzt lautet aber die Kreisbahnbedingungmv 2 = nliv Ir = Fr = Zalicr 2 Ir~ .Daraus folgt n 2 rel(rJn2 r; + r2 ) = Za? Ir~. Da hier ganzbestimmt r « nre ist, vereinfacht sich das zur = rk(ni(Za)) 1 1 3 • Einsetzen in den Energieausdruck liefert- -~ ( 2/3- n2/3)Wn - 2. 31/3 W" Z a2/3--(2/3 -~ 2/")- 1,06 Z al/3 MeV.Das von n unabhängige Glied ist natürlich identisch mitdem nichtrelativistischen, denn es gibt einfach das Potentialminimuman. Nur die n-Abhängigkeit ist wesentlich anders.BeiZ= nla würde diese Näherung Wn = 0 liefern. In Wirklichkeitmüßte zum Anschluß an den Coulomb-FallWn = -We = -0,5MeV herauskommen.12.6.12. Spontane PaarbildungEine Bahnenergie W = -2mec 2 = -1,02MeV ergibt sichfür z~/ 3 = (nla) 2 1 3 + 1, also von den kritischen WertenZ1 = 145, Zz = 283, Z3 = 422 usw. an. Genauere Rechnungnach der relativistischen Wellengleichung des Elektrons(Dirac-G1eichung) liefert Z1 = 173, genau den Wert, derDominiks A = 500 entspräche, Zz = 235 usw. Hierbei istdie Abschirmung durch die bereits eingefangenen Elektronenberücksichtigt.12.6.13. Elektron im Kern?Der übliche Beweis für die Nichtexistenz von Elektronen imKern gründet sich auf deren Nullpunktsenergie bei so engerEinsperrung. Man zeigt, daß diese Nullpunktsenergie größerist als die Ruhenergie des Elektrons. Genau diese Nullpunktsenergiestellt aber im Bohr-Modell die kinetische Energie desElektrons dar, und die Grenze für den Eintritt in den Kernliegt gerade dort, wo die kinetische Energie ungefähr gleichder Ruhenergie wird. Elektronen üben keine starke Wechselwirkungaus, werden also von den Nukleonen nur elektrostatischbeeinflußt und können ungehindert auch innerhalb derProtonen-Ladungswolke kreisen. Deswegen eignen sie sichauch so gut als Geschosse zur Sondierung des Kern- undsogar Nukleoneninnern (Experimente von Hofstadter u. a.).