Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIII1166 : : Lösungen zu den Aufgabendungsträgeraufgebote n 00 von 2 · 10 15 bzw. 2 · 1019 cm-3 . ImKristallinnem laufen die Bandränder horizontal. Wenn mankorrekterweise mit der vertikalen Koordinate die Elektronenenergiemeint, muß man in den Randschichten die Bandränderund die Störstellenniveaus auf- bzw. abwärtsbiegen. Ganzam Rand, wo das äußere Feld noch eindringt, folgen die Niveausder Richtung des äußeren Potentials. Die Fermi-Grenze,die angibt, wie hoch die Zustände besetzt sind, verläuftdagegen horizontal. Täte sie das nicht, d. h. wären die Elektronenirgendwo energetisch höher getürmt als anderswo,dann würden Diffusionsströme einsetzen, die diese Unebenheitder Fermi-Grenze ausglichen. Bei so auf- bzw. abgewölbtenNiveaus wird klar, warum auf der einen Seitemehr, auf der anderen weniger Elektronen sitzen als ohneFeld. Ganz allgemein läuft also die Fermi-Grenze (auch elektrochemischesPotential genannt) im Gleichgewicht immerhorizontal. Längs jeder Neigung der Fermi-Grenze müssensofort Elektronen fließen.14.4.6. KontaktierungIn einem Halbleiter mit Donatoren verläuft die Fermi-Grenzeoberhalb von diesen, denn sonst wären sie leer, also keineDonatoren. Beim Kontaktieren setzt sofort ein Diffusionsstromein, der wasserfallartig Elektronen über die Stufeder Fermi-Grenze stürzen läßt, bis die Randschicht so anElektronen verarmt ist, daß die Fermi-Grenzen sich einanderangeglichen haben. Bandränder und Donatorniveau habensich dann so hochgebogen, daß die entleerten Donatorenoberhalb der Fermi-Grenze zu liegen kommen. Wenn Ddie "Dotierung", d. h. die Konzentration der Donatoren prom 3 ist, kann man ohne Anzapfung des Valenzbandes maximaldas Elektronendefizit n 00 = D pro m 3 der Randschichterzeugen. Die Randschichtdicke wird dann dJ ssokT l(e2D) und entspricht nach Aufgabe 14.4.5 einerFeldstärke E = kTI(ed) = JkTDI(sso) oder einer SpannungU = Ed = kT I e, die an der Randschicht liegt. Bei Zimmertemperaturist diese Spannung nur fo V. Die Randschichtals der elektronenärmste, also schiechtestleitende Teil wirktwie ein großer Widerstand, der hinter einem kleineren liegt.Infolgedessen fällt i. allg. die volle am Kontakt liegendeSpannung an der Randschicht ab. Hat diese Spannung inder richtigen Polung, d. h. so, daß sie Elektronen aus demHalbleiter in die Randschicht treibt, den Wert kT I e odermehr, dann "weht die Randschicht zu", die Bandkrümmunggleicht sich aus und der Leitwert des ganzen Kontakts entsprichtdem des ungestörten Halbleiters. Bei der entgegengesetztenPolung werden noch mehr Elektronen aus der Randschichtabgezogen, diese wird breiter, und der Widerstand desKontakts nimmt zu. So ergibt sich eine Gleichrichter-CharakteristikI(U), auf der einen Seite steil, auf der anderen flach.Auf diesem Prinzip beruhten die Detektoren der alten Radiotechnik(Metallspitzen auf Halbleiterkristallen), die durchElektronenröhren ersetzt wurden, aber in den Kristalldiodenwieder zu Ehren gekommen sind und immer noch das stilisierteelektrotechnische Symbol eines Gleichrichters hergeben.14.4.7. DiodenkennlinieEs kommt darauf an, was die vertikale Koordinate darstellensoll. Wenn sie die Elektronenenergie unter Einbeziehung dereigenen Felder angeben soll, muß die Fermi-Grenze imGleichgewicht waagerecht laufen, und zwar im Fall vonAbb. 14.63b links zwischen Donatoren und Leitungsband,rechts zwischen Akzeptoren und Valenzband. Die Niveaussind also schon ohne äußeres Feld S-förmig verbogen. DieVersetzung der Fermi-Grenzen entspricht einer Kontaktspannungvon der Größenordnung 1 V. Links von der Grenzflächebildet sich eine Elektronen-, rechts eine Löcher-Verarmungsrandschicht,in denen die Donatoren (links) bzw. die Akzeptoren(rechts) praktisch unbesetzt sind. Links ist die n-Leitung,rechts die p-Leitung stark herabgesetzt. Wenn die Spannungin Durchlaßrichtung größer ist als die Kontaktspannung,sind die Randschichten zugeweht: Die Diode leitet entsprechendden "bulk"-Eigenschaften der kompakten Halbleiter.Für die Speirichtung ergibt sich der Feldverlauf in derRandschicht so: Die Potentialkrümmung U" ist nach PoissonU" = Ql(eeo) = eDI(eeo), wo D die Dotierung (Donatorenbzw. Akzeptoren pro cm 3 ) ist. Integration ergibt fürdie Spannung an den Randschichten U = eDd 2 l(4ee0 ). Jemehr Spannung U man anlegt, desto dicker wird die Randschicht,d. h. die von Elektronen entblößte Schicht. Der Widerstandder ganzen Diode ist proportional d, also ~ U 1 12,d. h. es ergibt sich eine I ~ U 1 1 2 -Kennlinie in Sperrichtung.Wird die Spannung für die gegebene Dotierung zuhoch, dann reichen die Störterme nicht aus, um die nötigePotentialdifferenz zu erzeugen. Man braucht zusätzlich Leitungselektronenlinks, Valenzlöcher rechts. Sie können u. U.erzeugt werden, indem die Randschicht durchtunnelt wird.Der für den Tunneleffekt typische eU/Uo_Faktor tauchtdann auch in der Kennlinie der Tunnel-Diode auf.14.4.8. ThermolumineszenzDas Gleichgewicht zwischen Leitungs- und Trapelektronenläßt sich nur selten nach dem gleichen Schema behandelnwie das zwischen Leitungselektronen und Valenzlöchern,nämlich dann, wenn die Valenzlöcher sich an der Trägerbilanznicht merklich beteiligen, d. h. wenn die Fermi-Grenzezwischen Traps und Leitungsband liegt. Im allgemeinen liegtsie tiefer, d. h. im Valenzband sind ebensoviele Löcher (p imcm3), wie Traps und Leitungsband zusammen Elektronenenthalten (h bzw. n im cm3). Der Ausläufer der Fermi-Verteilung,der die relative Besetzung von Traps und Leitungsbandbeschreibt, kann als Boltzmann-Verteilung angenähertwerden, d. h. es ist niNo = (hiH) e-w /(kT) (W: Traptiefevom Leitungsband aus). No ist das statistische Gewichtdes Leitungsbandes, in dem die Elektronen ein quasifreiesFermi-Gas bilden, also analog zur Eggert-Saha-Gleichung(Abschn. 8.1.5, Herleitung entsprechend Abschn. 17.3.3):No= (27rmkT lh 2 ) 3 1 2 = 1,2 · 10 19 cm-3 . H 1st d1e Anzahl/cm3 der Traps, also die Dotierung. Dieses Verhältnis zwischenn und h muß auch aus dem Gleichgewicht zwischenthermischer Befreiung aus den Traps (yh solche Prozesse/cm 3 s) und Wiedereinfang in leere Traps (rxn(H- h) solche