Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 3: Lösungen 1037mel auf die Seite, dann sieht ihr Profil aus wie eine Kette, dieunter ihrem eigenen Gewicht durchhängt. Diesmal täuschtdie Analogie nicht. Die Kette bildet eine cosh-Kurve. Durchihre Rotation um die x-Achse entsteht ein Catenoid, das tatsächlichüberall die Krümmung 0 hat, wie man in etwas umständlicherdifferentialgeometrischer Rechnung zeigen kann:Rj 1 +R2 1 = (1 +q 2 )r+ (1 +p 2 )t ~ 2pqs = 0 mit p =ozlox, q = ozl{)y, r = op_ ox, t = oqloy, s = opl{)y fürdie Fläche z = a arcosh( x2 + y2 I a). Für die anschaulicheVorstellung beachte man: Der eine Hauptkrümmungsradiusr,, nämlich der mit minimaler, d. h. am stärksten negativerKrümmung, ergibt sich, indem man längs der Seitenlinieder Trommel geht. Die maximale Krümmung erfolgt dagegennicht in der x-y-Ebene (außer an der engsten Stelleder Trommel), sondern in einer Ebene, die die Normalezur Seitenlinie enthält. Aus den Eigenschaften der cosh-Kurvefolgt, daß die Trommel im Verhältnis zu ihrem Radius Rnicht zu lang werden kann. Ihre Länge 2L muß sich mit Rdurch R = acoshLia verknüpfen lassen, sonst gibt es keinestabile Seifenhaut Wir schreiben dies als r:xu = cosh u mitu = LI a und R = r:t.L. Diese Gleichung hat nur dann reelleLösungen (i. allg. zwei), wenn r:t.größer ist als der Wert,der der Tangente an die cosh-Kurve vom Ursprung aus entspricht.Diese Tangente ist gegeben durch r:t.u = cosh u,r:t. = sinh u, also u = coth u, d. h. u = 1 ,2; a = 1 ,5. Nur fürL < Rll,5 ergibt sich eine stabile Haut. Zieht man die Ringeweiter auseinander, dann zerreißt die Trommel, und in jedemRing entsteht eine einfache ebene Haut. Um einen geradenZylinder zwischen den Ringen zu ziehen, muß man einenInnendruck von (J IR anwenden (nicht 2(J IR wie bei der Kugelgleichen Radius, denn der Zylinder hat nur eine Krümmung).3.3.1. NachtverkehrWenn der Verkehr stationär fließt, sind Strom- und Bahnlinienidentisch (abgesehen von einzelnen Fahrbahnwechslern).Wenn die Zeitaufnahme eine Ampelschaltung umfaßt,ist das nicht mehr der Fall. Stromröhren sind die Fahrbahnen(Straßenhälften). Eine Verengung bringt nur dannkeine Stauung, wenn sich alle stetig "einfädeln" (Stromlinien)und in der Engstelle dichter oder schneller fahren.Die Polizei mißt den Fluß durch ein Kabel, das allerdingsden Richtungssinn nicht anzeigt (im Vertrauen auf Respektierungdurchgehender Linien). Die Strömung ist nicht inkompressibel.Vor der roten Ampel ist die Divergenz negativ,vor der grünen positiv. Solche Stellen sind Senken bzw.Quellen im Sinn von {!. Andere Quellen und Senken für dasPhoto sind Unterführungen, Parkhäuser usw., Rotationsfreiheitgilt nur, wenn auf gerader Straße auf allen Spuren gleichschnellgefahren wird, bzw. wenn der Kreisverkehr "starr"rotiert (w konstant).3.3.2. GezeitenstromBei horizontalem Boden und Strömung in West-Richtungohne Reibung folgt aus der Divergenzfreiheit nur, daß vüberall horizontal ist (Boden ist Strornröhrenstück) undsich in west-östlicher Richtung nicht ändert. Nord-südlicheund tiefenmäßige Verteilung wären noch beliebig. Wirbel"freiheitschließt Nordsüd-Variation aus. Innere Reibung verlangtProportionalität von v mit der Höhe z über dem Boden:v = az. Je stärker die "Tide drückt" oder "zieht", desto größerist a. Wenn der Boden mit tan a = b nach Westen zu ansteigt,ist die Tiefe h = bx (x: Abstand von der Küste) und v,...., h-1.Daher die riesigen Tidenhübe in entsprechend gelegenenBuchten (Mt. St. Michel 12m; Fundy-Bay noch mehr).3.3.3. FeldeigenschaftenIndizes hinter dem Komma bedeuten Ableitung nach der entsprechendenKoordinate. grad u = (u,x, u,y, u, 2 ). rot gradu =(u,zy ~ u,yz, u,xz ~ U,zx, u,yx ~ u,xy)· Alle drei Komponentenverschwinden wegen der Vertauschbarkeit der Ableitungen.rot V= (Vz,y ~ Vy,z, Vx,z ~ Vz,x, Vy,x ~ Vx,y), divrot V=(vz,yx ~ Vy,zx + Vx,zy ~ Vz,xy + Vy,xz ~ Vx,yz). Auch hier findetman drei Paare identischer Glieder mit verschiedenenVorzeichen, die sich wegheben.3.3.4. AufrahmungEin Fetttröpfchen vom Radius rund der Dichtedifferenz ~ !'!.(]gegen Wasser erfährt den Auftrieb F = ~ 1r 11(] r 3 g. Erschiebt das Tröpfchen mit der Geschwindigkeit v =F I (67rYfr) = ~? 11(UIYf aufwärts. Für die ca. 10 cm bis zurOberfläche brauchen die Tröpfchen in Stallmilch etwa 10Stunden, für homogenisierte Ladenmilch zehnmal so lange.Die Tröpfchenradien ergeben sich daraus zu 4 jlm bzw.1 ,2jlm. Eine Zentrifuge mit dem TrommelradiusR = 20 cm und 3 000 U/min, d. h. w ~ 300 s- 1 erzeugt einZentrifugalfeld von etwa 2 000 g, reduziert also die Trennzeitum den gleichen Faktor, d. h. auf einige Minuten.3.3.5. Stokes-RotationWenn die Hantel aus zwei Kugeln vom Radius r im Mittelpunktsabstand2a besteht, bedeutet ihre Drehung mit derWinkelgeschwindigkeit w um eine Achse senkrecht zumHantelgriff, daß jede Kugel sich mit v = aw durch die Flüssigkeitbewegt. Dazu muß nach Stokes an jeder Kugel dieKraft F = 67rYfVr = 67rYfarw angreifen, also ein DrehmomentD = F2a = l27rYfa 2 rw. Das ist das Stokes-Gesetz fürRotation. Es läßt sich angenähert auf andere Formen übertragen.Die größte Ausdehnung senkrecht zur Drehachse gehtquadratisch, die Ausdehnung in Achsenrichtung linear inden Drehwiderstand ein. Bei einigermaßen rundlichen Körpernist der Drehwiderstand größenordnungsmäßig gleich Yfmal dem sechsfachen Volumen. Die Form wird durch einenFaktor berücksichtigt, den Perrin für Rotationsellipsoide berechnethat.3.3.6. HovercraftWenn das Luftkissen 15 t auf einer Fläche von 130m 2tragen soll, muß in ihm ein Überdruck von l'!.p =1,5. 105 Nil30m2 ~ 0,01 bar herrschen. Dieser Druck fälltkurz außerhalb der herandenden Gummimanschette auf 0 ab,was nach Bernoulli oder Torricelli zu einer Strömun s e­schwindigkeit v=J211pl(]~2·103Nm-211,3kgm-3~ 40 rn/s führt. Bei 5 cm hat der Schlitz etwa 2,5 m2 Querschnitt,also ist der Luftverlust V = A' v = 100m3 I s.