Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 7: Lösungen 1087Atome oder Moleküle mit ungepaarten Elektronen sind alsoparamagnetisch. Dabei handelt es sich i. a. um die gleicheElektronenpaarung, die auch die chemische Bindung bewirkt.Daher sind Moleküle mit abgesättigten Bindungenmeist diamagnetisch. Sauerstoff zeigt durch seinen Paramagnetismus,daß er eigentlich aus "Radikalen" besteht. Atomemit abgeschlossenen Elektronenschalen und -unterschalensind ebenfalls diamagnetisch.7 .4.4. Metall-ParamagnetismusIm Magnetfeld zerfällt der vorher einheitliche Potentialtopfder Leitungselektronen in zwei Teiltöpfe, einer für die Elektronenmit parallel zum Feld eingestellten Spins, der anderefür die mit der anderen Spinrichtung. Beide Töpfe habenidentische Form, nur sind sie um die doppelte Dipolenergie2PmBB gegeneinander verschoben, wobeiProB das magnetischeMoment des Elektronenspins (ein Bohr-Magneton) ist.Da in einem Metall das Leitungsband nicht vollbesetzt ist,werden Elektronen aus dem höheren in den niederen Topfübergehen, und zwar durch Umklappen ihrer Spins in dieFeldrichtung. Dies geschieht so lange, bis die beiden Töpfebis zur gleichen Höhe gefüllt sind. Dann sitzen so viel mehrSpins im feldparallelen Topf, wie Elektronen in der Energiezoneder Breite 2PmBB Platz haben. Wenn Wo die Gesamtbreitedes Leitungsbandes ist, entfallen auf die Breite 2PmBBim m3 ungefähr n2PmBB/Wo Elektronen. Die Magnetisierungist also J = np~BB/Wo. Die Suszeptibilität x =,u0 np~B/Wo ist, obwohl sie nicht von der Temperatur abhängt,als paramagnetisch anzusprechen. Mit n """10 23 cm- 3 und Wo""" 2eV = 3 · w- 19 J erhält man x =3 · w-5 (vgl. Platin in Tabelle 7.1).7.4.5. Langevin-FunktionEin Teilchen mit dem Permanentmoment Pm hat im Feld Bdie Energie W =Pm x B = PmB cos rx. Wir betrachten vereinfachendnur die parallele und die antiparallele Einstellung.Wie in Aufgabe 6.2.3 erhalten wir nach der Boltzmann-Verteilungdie Anzahldichten nex /(ex + e-x) undne-xj(ex+e-x) mit x=pmB/(kT) in diesen beidenRichtungen. Im Gegensatz zum elektrischen Fall habenwir hier nicht ohne weiteres x « 1, d. h. PmB « kT angenommenund die Exponentialfunktion entsprechend entwikkelt,denn, wie Aufgabe 7.4.6 zeigt, ist diese Näherung zumindestfür Ferromagnetika nicht gerechtfertigt. Die Magnetisierungwird also J = npm(ex- e-x)/(ex + e-x) =npm tanh(pmB / (kT)) (Langevin-Funktion), ist also beihohen Feldern nicht mehr proportional zu B, so daß sichkeine Suszeptibilität mehr definieren läßt. Bei kleinenFeldern ist x = ,u0 np~/(kT).7.4.6. Warum nur Eisen?Ferromagnetismus setzt eine spontane Sättigungs-Magnetisierungin kleinen Bereichen voraus, die sich dann imFeld mehr oder weniger einheitlich ausrichten. Diese Sättigungsmagnetisierungkommt so zustande, daß sich diePermanentmomente von Nachbarteilchen gegenseitig ausrichten.Die Energie eines Dipols im Feld seiner Nachbarnmuß dazu mindestens kT sein, sonst verhindert die therrni-sehe Bewegung die Ausrichtung. Die Energie eines DipolsPm im Feld eines anderen im Abstand a ist W ~ p~/ a 3(vgl. Abschn. 6.1.6). Man braucht also möglichst großeMomente in möglichst kleinem Abstand. Nach der Hund-Regel(vgl. Abschn. 16.4.3) bauen sich die Elektronen in eineUnterschale so ein, daß sie zunächst möglichst verschiedeneOrbitals besetzen, d. h. daß Paarung möglichst vermiedenwird (je verschiedener die Orbitals, desto kleiner die Coulomb-Abstoßungsenergie).Beim Aufbau der d-Schale, dieim ganzen zehn Elektronen faßt, liegen in der Mitte der Reiheder "Übergangsmetalle" Zustände mit vier oder fünf ungepaartenElektronen. Demnach wären, wenn es allein auf Pmankäme, Cr, Mn, Fe die aussichtsreichsten Kandidaten fürFerromagnetismus. Der Abstand a geht aber noch stärkerein als Pm· Er ist bestimmt durch den Radius der äußerstenSchale, der nach Bohr wiederum durch Hauptquantenzahl nund effektive Kernladung Zeff gegeben wird: r ~ n 2 /Zeff. nist für die interessierende Reihe von Metallen immer 4, aberZeff nimmt zu, denn die Innenelektronen können nicht denganzen Zuwachs an Kernladung abschirmen. Daherschrumpft r, wie an der wachsenden Dichte der Übergangsmetalleersichtlich, und p~ja 3 erreicht sein Maximum erstbei Fe, Co, Ni. Für Fe (vier ungepaarte Elektronen) brauchtman, um zu erklären, daß die Spontanmagnetisierung erstbei 774 oc (Curie-Punkt) zusammenbricht, den vernünftigenWert a""" 1 A (etwas weniger als den Atomabstand,der 2 A beträgt). In den höheren Perioden ist der Atomradiusschon zu groß (er geht zwar nicht mit n 2 , wie wenn Zeff konstantwäre, sondern ungefähr wie n). Erst in der Mitte derSeltenen Erden (Gd, Dy) gibt es, viel schwächer, etwas Ähnliches.7.5.1. MUD-GeneratorWenn ein Plasmastrahl mit v = 2 000 m/s auf d = 1 m Breitedurch ein Magnetfeld B = 1 T tritt, erhält man ein E-FeldE = vB und eine Spannung U = Ed = vBd """ 2 kV. Die Leistungdes Generators stammt aus der mechanischen Leistung,mit der man den Plasmastrahl durch das B"Feld pumpen muß,wobei man gegen eine Lorentz-Kraft IBd anzukämpfen hat,sobald ein Strom I fließt P mech = Fv = IBdv. In der elektrischenLeistung muß man den Spannungsabfall b.U =IR imPlasmaraum beachten, der mit jedem Strom I verbunden ist.Der Widerstand R ist hier durch die begrenzte Leitfähigkeitdes Plasmas bedingt: R = d/aA. Die Klemmenspannung desGenerators sinkt also auf U = Uo- IR= vBd- Id/aA, dieelektrische Leistung ist Pel = UI = IvBd- I 2 d/aA, derWirkungsgrad 11 = 1- I/avBA, der Maximalstrom Im=vBaA. Da das Plasma direkt gegen magnetische Kräfte ankämpft,ist die Energieumwandlung direkter, als wenn mannoch ein rein mechanisches Element wie einen Rotor mitTurbinenschaufel und Läuferwicklung dazwischenschaltet- Beim Hall-Effekt werden die Ladungsträger durch daselektrische Feld angetrieben, Träger verschiedener Vorzeichenlaufen also einander entgegen und werden im B-Feldauf die gleiche Seite gedrückt; die Hall-Spannung mißt dieDifferenz der Einflüsse beider Trägersorten. Im MHD-Generatorfliegen beide Trägersorten in gleicher Richtung und