Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 11: Lösungen 1119Halbmond: y = 1· cos cx = sin 9 cos rp.1 17r/217r/2sin2 9 cos 9 d9 cos rp drp7f 0 -7r/2J = - aiR 2= -aiR 1 2 21' i dz = -aiR 2 2 .7f 0 37rHiernach strahlt der Vollmond 1r-mal stärker als der Halbmond,ist also mehr als eine Größenklasse heller (eineGrößenklasse entspricht einem Faktor 100 1 1 5 = 2,512). InWirklichkeit strahlt der Mondboden zur Seite noch wenigerals ein Lambert-Strahler. Er ist zu rauh. Daher ist der Halbmondnoch etwa 3mal weniger hell als oben berechnet.11.1.10. Echo-SateUitDer Satellit sieht von allen Seiten gleichhell aus, sogar vonhinten (außer natürlich, wenn er die Sonne direkt verdeckt).Die Strahlungsstärke der blanken Kugel ist unabhängig vomWinkel. Man könnte das schon aus der geometrischen Optikschließen: Der Kugelspiegel werde ersetzt durch das Bild derSonne in diesem Spiegel, das in der Mitte seines Radius entsteht.Ein solches Bild sollte nach allen Seiten gleich starkstrahlen. Die geometrische Optik liefert aber nur in beschränktemMaße Aussagen über Strahlungsstärken. DasSonnenlicht falle aus der Richtung 9 = 0 ein. Das ringförmigeStück Kugelfläche, das zwischen den Winkeln 9 und9 + d9 liegt, hat die Größe 21rR 2 sin 9 d9, fängt die StrahlungsleistungdP = 21riR 2 sin 9 cos 9 d9 auf und spiegeltsie in den Hohlkegel zwischen 29 und 29 + 2 d9 hinein.Dieser Kegel umfaßt einen Raumwinkel dQ =21r sin(29) d(29) = 81r sin 9 cos 9 d9. Die Strahlstärke J =dP 1 dQ = ! IR 2 ist also in allen Richtungen gleich, . sogarbei 29 = 1r, d. h. bei streifendem Einfall ( 9 = 1r 12). D1e Gesamtleistung1rR 2 I, die die ganze Kugel effektiv mit ihremQuerschnitt einfängt, verteilt sich gleichmäßig über denvollen Raumwinkel 47r.11.2.1. Leslie-WürfelDie berußte Platte strahlt mehr und absorbiert auch mehr,proportional dazu. In Abb. 11.30a verstärken sich die beidenEinflüsse, in Abb. 11.30b kompensieren sie sich, wenn mandavon absieht, daß die 8-Unterschiede auch von der Temperaturabhängen.11.2.2. WeinpanscherEgal wie man verfährt: Die Mengen an "Fremdsubstanz" sindin beiden "Gläsern immer gleich. Da nämlich vor wie nach derOperation beide Gläser gleich voll sind, muß der Rotwein,der aus dem Rotweinglas verschwunden und im Weißweingelandet ist, durch genausoviel Weißwein ersetzt wordensein. Hoffentlich haben Sie sich nicht halbtotgerechnet11.2.3. Kirchhoff-GesetzMan kann die Sache auf drei Arten behandeln (mindestens).Man kann geschickt bilanzieren, analog zum Fall des RotundWeißweins (s. oben). Oder man kann sagen: Im Hohlraumherrscht die spektrale Energiedichte Q, egal .von wel-eher Wand sie ursprünglich emittiert wurde. Sie trifft mitder Intensität CQ auf jede Wand, und die eine absorbiert81c heraus, die andere 82C. Diese Energiestromdichten müssenjeweils gleich der spezifischen Ausstrahlung R; sein,woraus P; rv 8; folgt. Drittens und am kompliziertesten:Wand 1 sendet Pt aus und muß ebensoviel empfangen, nämlich81P 2 direkt von drüben, 8tPt (1 - 82) aus der Strahlung,die Wand 2 nicht geschluckt hat, 8tP2(1 ....: al)(1 - 82) ausder 1,5mal hin- und herreflektierten Strahlung usw. Manerhält zwei geometrische Reihen mit dem Faktor(1- 8t)(1- 82) und der Summe S = 11(8t + 8.2- 8t8~).Ernission und Gesamtabsorption müssen gle1ch sem:Pt = BtP2S + Bt (1 - 82)PtS. Einsetzen von S liefert wieder8tP2 = 82Pt.11.2.4. StrahlungsmaximumSpektrale Intensität I und spektrale Photonenstromdichte jhängen zusammen wie j"' Ilv. Umrechnung von I(v) aufI(A.) bzw. von j(vi auf j(A.) geschieht durch Multiplikationmit dA.Idv =-cj),. Aus I(v) "'x3 l(ex-l) mitx = hvl(kT)folgt also I(A.) rv x 5 l(ex- 1)mit x = hci(A.kT), ausj(v)rvx21(ex-l) folgt j(A.)rvx41(ex-l). Wir suchenganz allgemein das Maximum von x" I ( ex - 1). Nullsetzender Ableitung liefert die transzendente Gleichung x =n(l - e-x). Bei sehr großem n ist x = n eine ganz guteNäherung, denn e -x ;::-.:; e -n ist dann sehr klein. In Wirklichkeitist x etwas kleiner als n, sagen wir x ;::-.:; n - B mit e «: 1. Einsetzenliefert e ;::-.:; nl(en- n). Genaue Werte erhält maniterativ auf dem Taschenrechner: n eingeben, Schleife +Iex+I- +1 = x n =.Die Maxima von j(v), I(v), j(A.),I(A.) liegen also ir1 dieser Reihenfolge deutlich gestaffelt, fürdie Sonne mit T = 5 780 K bei 1 585, 894, 643, 507 nm. DieAbsorption in den äußeren Sonnenschichten und in unsererAtmosphäre verschiebt alle diese Werte noch (Abb. 11.28).11.2.5. Stefan-Boltzmann-Konstante1l(ex- 1b ist die Summe der geometrischen ReiheL,'{'= t e- . Unser Integral z~ällt s~ in eine Summe vonIntegralen der Form In = J 0x" e- ldx. In geht durcheine Kette partieller Integrationen über in eine Summe, inder die meisten Glieder außer e-kx auch x enthalten, alsoan den Grenzen 0 und oo verschwinden, bis auf das letzte,n!lkn+t. Somit wird ln = J;oxdxl(ex -1) = n!(n+t· ~ürdie Planck-Formel interessiert h = 6(4. Nun der Founer­Trick (man muß bloß draufkommen): Es sei f(x) = x",speziell x 2 bzw. x4 im Intervall ( -1r, 1r), außerhalb f(x)periodisch fortgesetzt. Fourier-Koeffizienten ank = .f.1r x"cos(kx)dx (gerade Funktionen), am besten wie oben alsRealteile von J x" eikx dx bestimmt: a2k = -47r lk 2 fürk > 0, a 20 = 21r 3 15; für x = 0 muß L,'{'= 0 a2k = 0 sein,also (2 = 1r216. a 4k = -47r 3 lk 2 + 247r lk 4 , a4o = 2~ 15;also 2~ 15- 4~(2 + 247r(4 = 0, also (4 = 7r4l90.11.2.6. LampenausbeuteDies ist die Grundlage für die Umrechnung von Strahlung inLicht. Leider gibt es keinen allgemeinen einfachen Ausdruck