Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 1: Lösungen 1017momentweise erheblich überschritten werden, wenn die"Knautschzone" nicht auf Sicherheit durchkonstruiert ist.Wenn der nichtangegurtete Fahrer es aushält, mit drei Erwachsenenauf dem Rücken "Pferdchen" zu spielen, verträgter a r::::; 4g. Bei d = 0,5 m hält er dann nur v = 23 kmlh aus,ohne in die Frontscheibe zu fliegen. Kraft-, energie- und impulsmäßigist es gleichgültig, ob ein Auto mit v gegen einefeste Wand fährt oder ob zwei gleiche mit v und -v frontalzusammenstoßen.1.5.4. HochsprungDer Hochspringer verschafft sich, indem er in die Knie geht,eine Beschleunigungsstrecke Ah und drückt sich mit derKraft F nach oben, erteilt seinem Körper also die kinetischeEnergie W = 1mvÖ = (F- mg)Ah. Von dem Moment an,wo der Schwerpunkt S wieder die Normalhöhe ho erreichthat und die . Beschleunigung aufhören muß, beschreibt Seine sehr steile Wurfparabel und erreicht die Höheh = ho + W l(mg), die im "Fosbury-Flop" sogar etwaskleiner als die Lattenhöhe sein kann. Mit ho = 1,1 m,h = 2,4m, m = 75kg, Ah= 0,4m erhält man W r::::;1 OOOJ, Beinkraft Fr::::; 1500N, Aufwärtsbeschleunigunga = F Im - g r::::; 10 ml s2, Absprunggeschwindigkeit vo r::::;1,6 m/s, Beschleunigungszeit 0,16 s, Leistung währenddieser Zeit 6 000 W = 8 PS.1.5.5. Veranschaulichung des RaketenprinzipsDie Sprengladung möge einer Granate im festen Rohr 2 kmlserteilen. Hat das "Rohr", wie im Fall der beiden Raketen, diegleiche Masse, dann erhält jede unter den gleichen Bedingungennur 1 kmls. Auf jeder Stufe steigert sich so die Geschwindigkeitdes Stückes, das noch in der gewünschten Richtungweiterfliegt, um 1 km/s, wobei sich die Masse halbiert. Nachn Explosionen hat man noch die Masse mn = mo2-n mitn kmls. Um 8 km/s zu erreichen, braucht man 8 Explosionen;die auf die Kreisbahn gebrachte Nutzlast ist ms =mol256. Allgemein: mv = mo2-2vfw = mo4-vfw, wenn wdie Geschoßgeschwindigkeit aus festem Rohr, also günstigstenfallsdie Pulvergasgeschwindigkeit ist. Der kontinuierlicheTreibstrahl ist günstiger: moe-vfw; man spart gegenüberden diskreten Explosionen den Faktor (4let1w = l,47vfw,z.B. bei v = 8, w = 2kmls den Faktor 4,7.1.5.6. Spülmaschinev Gefäßvolumen, q Zuflußmenge/s, c Alkoholkonzentration,cV Alkoholmenge im Gefäß, cq Alkoholverlust/s durchÜberlaufen. Das ist gleichzeitig die Abnahme der Alkoholmenge-d(cV)Idt = -i:V. Also i: = cqiV, integriertc = coe-qt/V bei gleichmäßigem Zufluß, allgemeinc = co exp (-J q dt I V). Man kann das auch durch diegesamte , Durchflußmenge V' = J q dt ausdrücken:c = coe-V /V. Das Spülen geht überraschend schnell: BeiV= 11 und V'= 31 ist schon c = 5%, bei V'= 101 nurnoch 0,005 %. Dies wird weniger erstaunlich, wenn manso spült: Man gießt die Hälfte des jeweiligen Gemischesaus und füllt mit reinem Wasser auf. Jedesmal halbiertsich c. Nach n solchen Prozessen, also Zugießen von nl2lWasser, ist c = co2-n. Mit 31 Wasser erreicht man so1,6 %. Diese Spülmethode ist wirksamer, weil man immerhöher konzentriertes Gemisch weggießt als bei der kontinuierlichen.Ersetzt man c durch die Raketenmasse, V durch dieTreibgasgeschwindigkeit, V' durch die Raketengeschwindigkeit,dann ergibt sich völlige Analogie mit diskontinuierlichemund kontinuierlichem Raketenantrieb.1.5.7. RaketeUm 1 kg Ethanol (C2H 5 0H, Molmasse 46), also 21,7 mol,zu 2C02 + 3H20 zu verbrennen, braucht man 3 · 21,7mol = 2,08kg 02. Die Verbrennungswärme von 2,8 · 10 7 Jkann die 3,1 kg Produktgas auf maximal w =)2 · 2,8 · 10713,1 = 4,2 · 10 3 m/s bringen. Bei einem Startlast-Nutzlast-Verhältnis3 : 1 würde man die Fluggeschwindigkeitv = w ln 3 = 4,6 kmls erreichen. Das ist nicht realisierbar,s·chon weil diese Molekülgeschwindigkeit T r::::;20 000 K entspräche, was keine Brennkammer aushielte.Man erreicht knapp die Hälfte (1/4 der Temperatur; Aufgabe5.1.3), also v r::::; 2kmls und eine Schußweitev 2 I g r::::; 400 km, ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes;der größte Teil des Fluges erfolgt in sehr geringerDichte. Man wählt die Brenndauer nicht zu kurz(t r::::; 70s), damit die Endgeschwindigkeit nicht schon in zudichter Luft erreicht wird, aber auch nicht so lang, daß derImpulsverlust gegen die Schwerkraft mgt, entsprechendeiner zusätzlichen Treibstoffmenge mgtlw, zu erheblichwird. Das optimale Beschleunigungsprogramm ist ziemlichkompliziert.1.5.8. Projekt für den Fall einer Abkühlung der SonneDas Magma sei da, wo man es erreichen kann, 4 000 Kheiß. Bringt man den Wasserdampf auf die gleiche Temperatur,dann haben seine Moleküle die mittlere Geschwindigkeitw = )3kT Im= 2,4 km/s. Schneller kann der Treibstrahlnicht ausströmen. Das ganze Meer hat ein Volumenvon 3,5 · 10 8 km2 · 4 km= 1,4 · 10 9 km 3 , also eine Massevon 1 ,4 · 1021 kg, d. h. 114 000 der Erdmasse. Folglichkann die Geschwindigkeit der Erde höchstens um v =wml M r::::; 0,6 m/s geändert werden, was der Mühe nichtwert ist angesichts der 30 km/s Bahngeschwindigkeit.1.5.9. Elastischer Stoß(a) Die gestoßene Kugel übernimmt Geschwindigkeit, Impulsund Energie der stoßenden, diese bleibt liegen. (b)Die stoßende Kugel prallt mit 1 ihrer ursprünglichen Geschwindigkeitv zurück, die gestoßene erhält 2v 13; an siegehen 1 des Impulses und ~ der Energie über. (c) DieWand ist ein Stoßpartner mit unendlicher Masse. Also erhältsie zwar den Impuls 2mv, aber keine Energie (AW =!Ap2 IM). Die Kugel prallt mit -v zurück. (d) Die Kugelntauschen v,p, W vollständig aus. Jede verhält sich so, alsstoßesie gegen eine feste Wand. (e) Die kleine Kugel, dieerst ruhte, prallt von der großen mit doppelter Relativgeschwindigkeitab, die große verringert ihr v nur sehr wenig.Sie gibt die Bruchteile 2miM bzw. 4miM ihres Impulsesbzw. ihrer Energie ab.