Lösungen zu den Aufgaben - Springer

..Kapitel 4: LösungenIIII1110514.6.4. SeichesSo langperiodische Wellen können nur zustandekommen,wenn das ganze Wasser im Ostseebecken als Seiche hinundherschwappt Die Länge L des Beckens ist dann Jcl2.Die Wellengeschwindigkeit ist durch die Seichtwasserformelc = JgH gegeben. Die Zeit zwischen zwei Hochwassernentspricht dem Hin- und Herlaufen der Welle:T = 2Lic. Mit L = 1200km (Lübeck-Leningrad) folgtc = 25 m/s, also H = c 2 I g = 62 m. Direktmessungen ergebendie mittlere Tiefe von 55 m. Im Bodensee (L ~ 50 km,H ~ 90 m) erwartet man c ~ 30 m/s, T ~ 55 min.4.6.5. BrandungIm Flachwasser ist c = JgH. Die Wassertiefe H ist unterdem Wellenberg größer, also läuft dieser schneller als dasWellental und kippt schließlich über. Diese "Herleitung"ist allerdings mit Vorsicht aufzunehmen: Die Welle isteine Einheit, man kann Berg und Tal nicht so einfachtrennen.4.6.6. WellengruppeDie Gruppengeschwindigkeit va = c - 2 dc I dA. ergibt sichfür Schwerewellen mit c = )!g217r zu va = !c, für Kapillarwellenmit c = J2mrl(a2) zu va = ~c. Da c und damitva von der Wellenlänge abhängen, läuft eine Wellengruppeum so schneller auseinander, je größer der Spektralbereichharmonischer Wellen ist, aus denen sich die Gruppe zusammensetzt.Die Breite dieses Bereichs sei LlJc, der ZentralwertA. Dann unterscheiden sich die Gruppengeschwindigkeitenfür den schnellsten und den langsamsten Teil der Gruppeum Llva = Ll). dva I d). = ! va fl). I Je. Eine Gruppe ausWellen mit Längen zwischen 5 und 6 m z. B. läuft auf einerStrecke von 1 km um 100m auseinander.4.6.7. KapillarwellenWie man aus der Wellenlänge sieht (um 1 cm oder kleiner),handelt es sich um Kapillarwellen, die genausoschnelllaufenwie das Boot (dieses muß schneller fahren als 0,23 m/s, dieMinimalgeschwindigkeit von Wasserwellen) und daher immerin der richtigen Phase angeregt werden. Je schnellerdas Boot wird, desto schneller, also desto kürzer werdendie Wellen. Gleichzeitig wird die Wellenzone immer schmaler,denn die Dämpfung irrfolge innerer Reibung ist fürkurze Wellen mit ihren höheren Gradienten der Strömungsgeschwindigkeitgrößer. Genauer betrachtet handeltes sich um eine Wellengruppe um die Wellenlänge, die derBootsgeschwindigkeit entspricht; die kurzen Wellen laufenvoran.4.6.8. GruppengeschwindigkeitVergleiche Aufgabe 4.6.6: Kapillarwellen va = ~ c, Tiefwasserwellenva = ! c, Flachwasserwellen (keine Dispersion)va = c. Bei den Kapillarwellen wie überhaupt beianomaler Dispersion läuft die Gruppe schneller als dieEinzelwelle. An der Vorderfront der Wellengruppe bildensich dauernd neue Einzelwellen.4.6.9. SturmseeDer Wind erzeugt zunächst überwiegend kurze Wellen. Dielängsten Wellen aus dem so erzeugten Spektralbereich laufenam schnellsten. Im allgemeinen durchsetzen Wellen einanderungestört, aber die Tendenz einer kurzen Welle zum Brechenverstärkt sich, wenn sie vorübergehend auf den Rücken einerlängeren gerät, die darunter wegläuft. Wenn die kurze Wellebricht, übergibt sie damit einen Teil ihrer Energie der längeren.Daher werden die Wellen immer länger (und stärker), jelänger der Wind anhält und auf je längerer Laufstrecke sichder Seegang aufbauen kann. Der Pazifik hat die längsten undmächtigsten Wellen. Lange Wellen haben kleinere Gradientender Strömungsgeschwindigkeit und dämpfen sich daherlangsamer durch innere Reibung. Sie laufen deshalb nochlange nach dem Sturm als Dünung weiter.4.6.10. BugwelleDie Bugwelle ist eine Wellengruppe, die von dem Schiff mitder Geschwindigkeit v erzeugt wird, selbst aber nicht mit v,sondern mit va = v sin 19° = v 13 läuft. Diese Gruppe bautsich aus einem sehr engen Bereich harmonischer Einzelwellenauf (die übrigens nach Aufgabe 4.6.6 selbst doppelt soschnell, also mit 2cl3 laufen) und die sich um die beherrschendeWellenlänge (vgl. Prinzip der stationären Phase)scharen. Diese beherrschende Wellenlänge ändert sich praktischmit dem Fortschreiten des Schiffes nicht: Aus (4.109)erhält man für die Schiffslage, deren Einfluß die eigentlicheBugwelle mit cos 8 = 819 beherrscht, t = -l,4rlv. Damitergibt sich die beherrschende Wellenlänge als At =81r? I (gt2 ) = 47rv 2 I g, was nur von der Schiffsgeschwindigkeitabhängt. Ein schnelles Motorboot hat nicht nur einestärkere, sondern auch eine breitere Bugwelle als ein langsames.4.6.11. LuftkissenbootIm Tiefwasser besteht die Bugwelle hauptsächlich aus Einzelwellen,deren Länge so ist, daß die Gruppengeschwindigkeit1 der Bootsgeschwindigkeit v ist; die Einzelwellen habenc = 2vl3. Bei v = 30m/s ergibt das Je~ 250m. Für solcheWellen ist Wasser von H < !Jcl1r ~ 40m seicht. Seichtwasserwellenhaben keine Dispersion. Also vereinfacht sich dieBetrachtung nach dem Prinzip der stationären Phase und lieferteinen einfachen Mach-Kegel. Dessen Öffnungswinkelhängt im Gegensatz zur Tiefwasser-Bugwelle von v ab:sin.9 = clv, wobei c = .JiH. Bei konstanter Geschwindigkeitv wird also der Kegel um so enger, je seichter das Wasserwird.4.6.12. TsunamiFür sehr lange Wellen, nämlich solche mit 30 und mehr kmWellenlänge, wie sie bei Seebeben usw. entstehen können,gilt selbst in der Tiefsee die Seichtwasserformel c = .JiH.Mit einer mittleren Ozeantiefe von 5 km erhält manc ~ 220mls, also ~ der Schallgeschwindigkeit. SolcheWellen brauchten, ohne Hindernisse, etwa zwei Tage umdie Erde. Sie laufen in Ausnahmefällen wie der Krakatau­Explosion auch mehrmals in merklicher Amplitude herum,