Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1130 Lösungen zu den Aufgabenist minimal bei dW jdr = 0, d.h. r = 7rh 2 eo/(me 2 ). Das istungefähr der erste Bohr-Radius, die Minimalenergie W =-me 4 j(81r 2 e6h 2 ) ist die Energie des H-Grundzustandes.12.3.9. Fermi-DruckAbgesehen von der Verdopplung dank der beiden Spinrichtungenhat jedes Elektron ein Volumen n- 1 mit demDurchmesser a ~ n-113 zur Verfügung. Nach Aufgabe12.3.8 hat es also die Nullpunktsenergie Wo~ h 2 j(ma 2 ).Verengt man ihm den Lebensraum um da, dann steigt seineEnergie um dWo ~ h2 da/ (ma 3 ). Dieser Energiezuwachsmuß als Kraft · da oder als Druck · Oberfläche · da zugeführtworden sein. Es folgt PF ~ h2 /(ma 5 ) (Zahlenfaktoren s.Abschn.l7.3.3; Druck ist, bis auf Zahlenfaktoren, immergleich Energiedichte). Damit der gaskinetische DruckPT = nkT = kT / a 3 so groß wird wie PF, muß kT ~h 2 / ( ma 2 ) sein. Für kondensierte Materie ( a ~ 3 A) bedeutetdas T ~ 106 K. PF hat dann die Größenordnung 10 11 bis10 12 N m-2 , d. h. entspricht dem Elastizitätsmodul sehr festerStoffe (vgl. Tabelle 3.3). Das ist kein Zufall, denn Kompressioneines Metalls z. B. bedeutet im wesentlichen Kompressionseines Elektronengases. Warum sich dieses Elektronengasnicht explosiv ausdehnt, wird in Kap. 14 klarerwerden.12.3.10. Energie-GrößenordnungenFür das Atomelektron liefert Bohr oder Aufgabe 12.3.8eine Energie e 4 mj(e5h 2 ) ~ lOeV. Chemische Energiensind etwas kleiner: H2 liefert 4 e V. Die Kohäsionsenergiedes Wassers (2 300 J/g) ist nur 0,4 e V. Oberflächen- und elastischeSpannungen müssen auf die Fläche von etwaw- 15 cm2 bezogen werden, die ein Teilchen einnimmt.Aus 7 · w- 2 Jjm 2 für Wasser folgen etwa 0,05 eV;7 · 108 Njm 2 für Stahl, die bis zur Bruchdehnung von 0,4angelegt werden können, liefern etwa 0,02 e V I Atom.Überall handelt es sich letzten Endes um Nullpunktsenergievon Elektronen, wie für Atomelektronen und elastischeEnergie direkt nachgewiesen wurde.12.3.11. BergeshöheJedes Material gibt nach, wenn auf ihm ein Druck lastet, deretwa gleich dem Fermi-Druck PF ~ h 2 / ( 8md 5 ) ist. Mitd ~ 3 Ä folgt PF ~ 10 10 N m- 2 . Das heißt nicht, daß unbeschränkteKompression eintritt, denn die tieferen Elektronenschalensind ja auch noch da. Bei etwa 0,1pp wird das Materialplastisch, entsprechend der Tatsache, daß chemische Bindungsenergienetwa ~ der Atomelektronenenergien betragen.Eine Steinsäule von 30 bis 40 km Höhe übt diesenDruck ghQ ~ 0, 1pp auf die Unterlage aus. In dieser Tiefewird Gestein plastisch. Die Kontinentalschollen sind auchetwa so dick. Kein Berg kann höher werden, denn sonstgäbe die Unterlage oder sein Fuß nach. Auf einem anderenPlaneten ist g durch GM/ R2 = 47rQRG /3 zu ersetzen. Diemaximale Bergeshöhe wird h ~ PF/(4r?GR) (wenn manwill, kann man!.! nach Aufgabe 12.3.20 auch durch atomistischeKonstanten ausdrücken). Je kleiner der Planet, destohöher können die Berge sein: Auf dem Mond 4mal sohoch (wegen der geringeren Dichte sogar 6mal), auf demMars mehr als doppelt. Sie sind dort auch höher (OlympusMons 25 km), wenn sie auch wohl nirgends die theoretischeGrenze erreichen. Der größte unregelmäßige Körper, für denh ~ R ist, hat R ~ J PF / ( 4Q2G) ~ 100 km; Phobos mitR ~ 10 km liegt weit unter dieser Grenze. Eine andere Frageist natürlich, ob die tektonische Aktivität auf einem Planetenso stark ist, daß die maximale Bergeshöhe ausgenutzt wird,bzw. ob einmal entstandene Bergriesen inzwischen abgebautworden sind.12.3.12. KräuselwellenSchwerewellen haben normale, Kapillarwellen anomale Dispersion.Die langsamsten Wellen liegen also im Übergangsbereich.Solche Wellen werden durch einen leichten Windvon ähnlicher Geschwindigkeit vorzugsweise angeregt. Einnoch langsamerer Lufthauch erzeugt gar keine Wellen.Diese langsamsten Wellen haben x = J rJ / (Qg) = 3 mm.Die Oberflächenspannung ist wieder knapp von der GrößenordnungFermi-Druck multi liziert mit Atomabstand, alsokann man setzen X~ ppdj(Qg). Andererseits ist die maximaleBergeshöhe h ~ PF/(Qg), also X~ v'hd. Auf jedemPlaneten liegt das x der "Zephirwellen" in der geometrischenMitte zwischen Atom und Bergriesen.12.3.13. Beste aller WeltenEin Stoff beeinflußt (reflektiert, bricht, beugt) das Licht wesentlich,wenn seine Teilchen zu Schwingungen angeregtwerden, die eine etwa ebensostarke Sekundärwelle emittierenwie die Primärwelle ist. Die Welle mit der FeldstärkeE erzeugt Dipole mit dem Momentp = aE. Die PolarisationP = rxE / d3 entspricht einem Sekundärfeld E' = P / eo, alsoE' jE= aj(e 0d 3 ). Nun ist a = e0 r~. Materie, in der dieAtome dicht gepackt sind, sollte völlig undurchsichtigsein, ein Gas mit d » 113 nicht. Der tiefere Grund dafürist natürlich, daß die Zusammenhaltskräfte der Teilchen inkondensierter Materie die gleichen sind wie die Kräfte inder Lichtwelle. Die obigen Aussagen sind sehr global.Man muß die Phasenverhältnisse zwischen Sekundär- undPrimärwelle beachten: Bei Phasengleichheit bleibt der Stoffdurchsichtig. Phasenverschiebung infolge der Nähe einer Resonanzfrequenzbedingt Absorption auch im Gas, allerdingsmit einer Eindringtiefe » A. Die spektrale Empfindlichkeitder Netzhaut ist rein biologische Anpassung an Sonnenspektrumund Durchlässigkeitsbereich der Atmosphäre. Bei25 000 K -Strahlung (lntensitätsmaximum bei 100 nm) sindviele Metalle schon durchsichtig, weil ihre Plasmafrequenzüberschritten ist.12.3.14. SternatmosphäreDer Virialsatz liefert Wkin = - ~ Wpot. d. h. kT ~ GMm/ R.Der thermische Gasdruck PT = nkT muß dem GravitationsdruckPG ~ GM 2 /R 4 die Waage halten. Wegen M ~ R3nmkommt das auf das gleiche heraus. Wenn ein Teilchensich während eines tangentialen freien Fluges weder vomZentrum entfernen noch ihm nähern soll, muß mv2 j R ~GM/ R 2 sein, was wieder dasselbe ergibt. Wenn der Stern