Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1172 Lösungen zu den Aufgabenals I 0 km) ist zwar vernachlässigbar, aber nicht der in w.Nach' der obigen Rechnung ist C raumfest, hat also w = 0,B hat w, D hat 2w. Damit ist rtc- rp 8 = ~w 2 R 2 = ~v 2 ,IPD - rp 8 = _l v 2 . Die relative Uhrenverzögerung istf..T IT = f..rp I c~. Bei der angegebenen Fluggeschwindigkeitwürde also die allgemeine Relativität einen ebenso großenEffekt liefern wie die spezielle. Daher darf v um den Faktory2 kleiner sein, um die angegebenen Werte zu liefern.15.2.2. ZeitdilatationArgumentation und Zeichnung (Abb. I5.24) sind richtig (daseinzige, worauf zu achten wäre, ist, daß keine Längen ausdem bewegten System, sofern sie in Bewegungsrichtung liegen,ohne Lorentz-Kontraktion übernommen werden: wennsonst nur von Punktereignissen die Rede ist, kann eigentlichnichts schiefgehen). Der Satz des Pythagoras liefert sofortdie Formel für die Zeitdilatation: f..t' = f..t J I - v2 I c2 .Dies ist wohl die einfachste denkbare Ableitung. Natürlichsind die Richtungen des Sterns für uns und den Astronautenum cx = arc sin( v I c) verschieden. Auf der Erde tritt dieser alsAberration bekannte Effekt auch auf: Im Winter z. B. bewegenwir uns mit 60 km/s gegen das Inertialsystem, das imSommer gilt, also sehen wir senkrecht dazu die Sterne um601300 000 = 2 · w- 4 oder ca. 40" gegen ihre Sommerpositionverschoben. In welcher Richtung ein Stern "wirklich"steht, gehört ebensowenig zu den absoluten Eigenschaftender Welt wie die Frequenz seines Lichts (noch weniger,denn für diese könnte man noch das System als maßgebendansehen, in dem der Stern ruht). Bei der Umzeichnung fürden Fall, daß wir den Stern in senkrechter Richtung sehen,scheint zunächst M' = M( I + v 2 I c 2 ) 1 1 2 herauszukommen.Aber das Argument, daß die schräge Strecke c M' sei, stütztsich ja auf einen stillschweigenden Übergang in das Systemdes Astronauten, wo diese Strecke jetzt teilweise in Bewegungsrichtungliegt, also Lorentz-verkürzt ist. Auch ohnedie entsprechende Korrektur auszuführen (man könnte sodie Lorentz-Kontraktion selbst ableiten!), sieht man leicht,daß auch diesmal das Richtige herauskommt, indem mandie Rollen der beiden Beobachter vertauscht.15.2.3. ZwillingsparadoxonWenn ein Mann A im System S den Mann B im System S'beobachtet, der sich mit 0,99c relativ zu ihm bewegt, stellter nach Voraussetzung fest, daß die "Physik" in S' siebenmallangsamer abläuft als inS. Man beachte nun, daß Koinzidenzeninnerhalb eines Systems absoluten Sinn haben. Daherwird auch B selbst feststellen, daß seine Physik siebenmallangsamer ist als seine Biologie. Mißt er seine Stundenusw. nach physikalischen Uhren identischer Konstruktionwie wir sie haben, wird erz. B. etwa alle drei Stunden schlafenmüssen, allerdings nur ca. eine Stunde lang. Wenn B nunA beobachtet, findet er, daß dessen Physik noch siebenmallangsamer läuft als seine eigene (diese Folgerung Einsteinssoll ja für die Physik anerkannt werden). Da B's Physik aberschon siebenmal langsamer ist als seine eigene Biologie, istA's Physik für B sogar 49mallangsamer als seine eigene Biologie.Daß A's Biologie mit A's Physik im Takt ist, wurdeeingangs postuliert und gilt absolut. Also sieht B auch A'sLeben 49mallangsamer ablaufen als sein eigenes. Die Reziprozitätzwischen S und S' ist demnach in krassester Weiseverletzt. Keinesfalls ist es logisch haltbar, die "vitalistischeHypothese" so zu interpretieren, wie sie bestimmt gemeintwar, nämlich daß man für S jedes Inertialsystem setzenkann. Die Hypothese könnte bestenfalls für ein Inertialsystemstimmen, und dieses dann mit Recht als "absolut ruhend"ausgezeichnet werden; die merkwürdigen Eindrückedazu bewegter Beobachter wären als Folgen ihrer absolutenBewegung aufzufassen. Übrigens wird kein Vitalist leugnen,daß gewisse biologische Vorgänge, speziell mechanische,von der Physik beherrscht werden. B würde für seine eigenenOrgane die gleichen physikalischen Größen (Massen,Dichten usw.) messen wie üblich. Daß seine Muskeln nunseine Beine, seine Kiefer, seine Zunge plötzlich siebenmalso schnell zu bewegen imstande sind als die Physik dies eigentlichgestattet, wäre sehr verwunderlich. Wenn aber dieseVorgänge dem physikalischen (siebenmal langsameren)Tempo folgen, wird sein eigenes Laufen, Essen, Sprechendem armen B so unerträglich langsam vorkommen, daß erfroh sein wird, aus dieser absurden Welt in die Einsteinsehezurückzukehren, wo innerhalb seines Systems alles völlig inOrdnung und im Takt ist.15.2.4. Myonen der kosmischen StrahlungEin Teilchen mit 207 Elektronenmassen oder etwa I 00 MeVRuhmasse, dessen kinetische Energie um I Ge V liegt, hatpraktisch Lichtgeschwindigkeit. Mit der Lebensdauer vonTo = 2 · I o- 6 s kommt es damit nur etwa 600 m weit, gerrauergesagt: Von einem gebündelten Myonenstrahl wären nach600 m schon 63% zerfallen (wir beachten die Zeitdilatationvorläufig noch nicht!). Von den in h = 13 km Höhe erzeugtenMyonen dürfte daher nur der Bruchteil e-h/(cro) ~e-13 000/6°0 ~ 10-9 an der Erdoberfläche ankommen, selbstwenn sie alle direkt nach unten flögen; da sie das bestimmtnicht tun, ist ein weiterer Faktor von der Größenordnung 10anzubringen. Die eigentliche Absorption ist dabei ebenfallsvernachlässigt (s. u.). Den 5 Myonen/cm 2 s, die tatsächlichankommen, müßten also mehr als 10 10 Myonen/cm 2 s entsprechen,die oben erzeugt werden. Da jedes etwa I Ge Vhat (abgesehen von den überdies noch erzeugten Teilchen)wäre der kosmische Energiefluß mindestens 10kJm-2 s- 1,also fast zehnmal mehr als für die Sonnenstrahlung. Fastdie gesamte kosmische Energie wird offensichtlich in derAtmosphäre absorbiert, und zwar sogar oberhalb der Troposphäre,die Sonnenenergie dagegen heizt die Atmosphäre nurindirekt (über eine Erwärmung des Erdbodens). Letzteres istder Grund für die eigentümliche Schichtung der Troposphäre,besonders für die Temperaturabnahme mit der Höhe (ob adiabatischindifferent, labil oder stabil). Eine kosmische Wärmequellevon diesem Ausmaß würde all das völlig umwerfen:die Troposphäre würde hochgradig stabil, es gäbe keineAufwinde, keine Gewitter, keinen Segelflug usw.Die Zeitdilatation löst das Paradoxon: Ein I ,5 Ge V-Myonz. B. hat mlmo = (I- v 2 lc 2 )- 1 1 2 = TITo- I = I5, seine