Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1022 : : Lösungen zu den Aufgabenfestigkeit CJ z kann man zwei Probekugeln mit der Gesamtmasse2m = 1fCJ zd 2 l4g aufhängen. Zwei große Kugelnmit der Masse M üben auf einen Dreharm der Länge 21ein Drehmoment D = lGmMI(R + r) 2 ~ !GmMIR 2 =f, 1r 2 G{!RCJ zd2l I g aus, das den Aufhängedraht der Länge Lum den Winkell1rp = DIDrp = l67rG(!CJzRlLI(3E1d 2 g) verdrillt(vgl. (3.64)). Damit 11rp möglichst groß wird, muß dmöglichst klein sein, selbst wenn dadurch die Probekugelnsehr klein werden. Bei d = 0,01 cm-Stahldraht mit E1 =80000Nimm 2 , CJz=200Nimm 2 , l=lm, L=3m, R=25 cm, Bleikugeln mit (} = 11340kglm 3 folgt11rp ~ 0,2 ~ 10°. Das Experiment gehört also bestimmtnicht zu den "hochgezüchteten"; es wurde ja auch schonim 18. Jh. ausgeführt. In der Praxis bestimmt man meistdie Torsionssteifigkeit T = 21ry'Jli5;, und gewinnt so ausder Ablenkung 11rp, die man sehr viel kleiner hält, die GravitationskonstanteG.1.7.5. Sirius BWenn Sirius keine geradlinige Eigenbewegung hätte, würdedie Pendelung zu einem etwas von der Seite gesehenen Kreisum den Schwerpunkt des Systems Sirius-Siriusbegleiter(Sirius A-Sirius B). Der Radius r dieser Bahn ergibt sichaus der scheinbaren Amplitude des Pendelns (Sehwinkela) und der Parallaxe ß des Sirius, die dem Erdbahndurchmesser,von Sirius aus gesehen, entspricht, zu al ß = 8,6Erdbahnradien = 1 ,3 · 109 km. Das ist der Abstand desSirius A vom Schwerpunkt. Sirius B steht nicht im Schwerpunkt,sondern in einem Abstand m 1rlm2 vom Schwerpunkt,also €m 1 + m2)rlm2 von SiriusA. Die Kreisbahnbedingungfür SiriusA lautet oir=Gm~(m 1 +m2 )- 2 r-2.paraus folgt mV(mi + m2) 2 = 6 · 1029 kg. Die beiden Massenlassen sich so nicht trennen. Nimmt man m1 = m2 an, sofolgt m 1 = m2 = 2,4 · 10 30 kg, also etwa Sonnenmasse. Dieoptische Entdeckung des Begleiters (Sirius B) zeigte, daß ermaximal 12,5 11 von Sirius A entfernt ist. Daraus folgtm2 = 0,34m, und m1 = 27 · 10 30 kg, m2 = 9,3 · 10 30 kg.Die Tatsache, daß die Bahn elliptisch ist, ändert die Zahlenwerte,aber nicht die Größenordnung.1.7.6. LotablenkungDie Lotabweichung von 0,25' = 0,7 · w-4 rad entsprichteinem Abstand von 450 m auf der Erdoberfläche. Sie wirddurch eine Überschußmasse 11m in 10 km Abstand hervorgerufen,die sich aus 11ml(10km)2 = 0,7 · 10-4MErdel( 6 400 km) 2 zu 1015 kg ergibt. Der ganze oberirdischeBrocken reicht dazu nicht aus; er hat nur etwa 30 km3 ,also etwa 1014 kg. Auch in der Tiefe muß das Material des"Horstes" dichter sein. Mit 11(} ~ 0,3 glcm 3 erhält maneine Dicke von etwa lOkm. Junge Faltengebirge sind meistisostatisch ausgeglichen, d. h. sie erzeugen weder eine Lotabweichungnoch eine Änderung der Schwerebeschleunigung.Wenn im Himalaja z. B. in 4 000 m Höhe g genau so groß istwie anderswo in gleicher Höhe, müssen die 4 km Gesteindadurch kompensiert werden, daß in größerer Tiefe leichteresMaterial liegt. Die Faltengebirge haben tiefe Wurzeln(Aufgabe 1.7.11).1.7.7; ZigguratJe höher der Turm ist, der z. B. am Äquator stehe, desto größerist die Zentrifugalbeschleunigung an seiner Spitze:az = w2(R + h). Theoretisch gibt es eine Höhe, bei der azgleich der Schwerebeschleunigung wird: w 2 (R + h) =GM I (R + h ) 2 . Dies ist genau die Höhe eines stationären Erdsatelliten(Aufgabe 1.7.2), nämlich 36000km. Könnte manein Seil vom Erdboden bis in noch etwas größere Höhe legen,dann würde es wie beim indischen Seiltrick "an denHimmel gehakt" aufrecht stehen, falls man oben eine hinreichendgroße Masse anhängt. Der weitere Materialtransportin noch größere Höhe ist dann kein Problem mehr. HeutigeSeile würden allerdings spätestens bei 10 km Länge zerreißen,jedenfalls in Erdnähe. Wenn man das Seil exponentiellverjüngte, um die Last zu reduzieren, käme man zu völligunmöglichen Querschnitten. Das Problem läßt sich auchin potentieller Energie von Schwere und Zentrifugalkraft gemeinsamausdrücken. Dies Potential hat sein Maximum aufeiner schlauchförmigen Fläche, die nahe dem Äquator in42 000 km Abstand von der Erdachse liegt und sich nach Nordenund Süden verjüngt, ähnlich wie ein Strumpf, in den maneinen Apfel gesteckt hat.1.7.8. MondautobahnMan muß zunächst mit erheblich höheren Geschwindigkeitenrechnen, denn die Leute fahren nun mal gern ihre Motorleistungaus, und auf der Erde frißt der Luftwiderstand den weitausgrößten Teil davon. Die Schwerebeschleunigung auf demMond ist entsprechend seiner 80mal kleineren Masse undseinem 3,7mal kleineren Radius etwa 6mal kleiner als aufder Erde (g ~ MIR2). Alle Reibungskräfte nehmen mitder Normalkraft i. allg. ebenfalls auf f, ab. NichtüberhöhteKurven müßten selbst bei gleicher Fahrgeschwindigkeit einen6mal größeren Radius haben als bei uns, gut ausgebauteKurven müßten in für uns lächerlicher Weise überhöht sein(z.B. bei v= 120km/h, R=300m um 63°). Die Fahrerwerden sich daran gewöhnen müssen, die an jeder Kurveangegebenen Maximal- und Minimalgeschwindigkeitenstreng zu respektieren, weil sie sonst nach außen bzw. innenwegrutschen. Auch Bremsverzögerung und Bremsweg sind6mal kleiner bzw. 6mal länger als hier. Man wird vermutlichSpezialmondspikes entwickeln.1.7.9. Olympiade 2000 in Selenopolis (Mare Imbrium)Es ist klar, daß alle Sprung- und Wurfdisziplinen ihre Rekordleistungenetwa versechsfachen werden, sofern Weitebzw. Höhe durch v2 lg gegeben sind (v: Anfangsgeschwindigkeit).Beim Diskuswurf ist die Steigerung nicht sohoch, denn dabei hilft die Luft tragen. Die Leistung des Läufersist nicht durch den Luftwiderstand begrenzt, sonderndurch die Beschleunigung seiner Beine. Nicht nur wegender Speerwerfer wird man aber die Stadien weit über denerdüblichen 400 m-Umfang vergrößern müssen, denn inder R = 30 rn-Kurve müßte sich der Läufer um ca. 60°schieflegen und würde glatt wegrutschen.