Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 2: Lösungen 1031Grade quasielastisch wie beim FadenpendeL b sin a spielt dieRolle der Pendellänge. Beim Fadenpendel ist h = l cos rp,J = MP, es folgt hier wie dort T = 21r.j J I (Mg!).Abb. L. 4. Weg des Schwerpunktes einer Tür mit senkrechtenAngeln (BAA') und mit schrägen Angeln (BCC')2.3.7. Auswuchten von RädernStatische Unwucht äußert sich darin, daß die Achse nichtdurch den Radschwerpunkt geht, dynamische darin, daßdie Achse nicht mit einer Hauptträgheitsachse zusammenfällt.Dynamische Unwucht kann auch vorliegen, wenn diestatische ausgeglichen ist. Sie macht sich erst beim Rotierendurch Ansätze zu Nutationsbewegungen um die Hauptträgheitsachsebemerkbar. Ein Dutzend Steine von etwaI cm Durchmesser haben zusammen 10 bis 20 g. Beiv = 160 kmlh = 45 mls - dies ist auch die Bahngeschwindigkeitdes Reifenumfangs - zerrt eine Zentrifugalkraftvon mv 2 Ir ~ 100 N periodisch seitlich an der Achse. FalscherRadsturz führt zu erhöhter Abnutzung innen oder außenauf der Lauffläche. Da der Materialverlust normalerweisegleichmäßig über den Umfang verteilt ist, sollte er dieAuswuchtung nicht beeinträchtigen. Hat man Ausgleichsgewichtevon verschiedener Größe, die man in festem Abstand(am Felgenrand) festklemmt, so reicht für das statische Auswuchtenschon eines aus. Für das dynamische Auswuchtenbraucht man u.U. ein weiteres.2.3.8. SprungbrettWenn das Sprungbrett mit der Amplitude a und der PeriodeT, also der Kreisfrequenz w = 21r I T schwingt, hat sein Endpunktdie Maximalgeschwindigkeit v = aw (1,2m/s). Läßtder Springer bei der Vorwärtsneigung ao seinen Füßen dieseGeschwindigkeit erteilen, so nimmt sein Körper eine Drehgeschwindigkeitä = v sin aol H ( ~ 0,6 s- 1 ) an, dazu eineAufwärtskomponente der Translation von Va = v cos !Y.Q.Sein Drehimpuls ist, wenn er sofort abspringt,L = Jv sin aol H. Mit dieser Winkelgeschwindigkeit ä vollführter einen vollen Salto (a = 21r) in t = 27rHI(vsinao)( ~ 10 s), wenn er ausgestreckt bleibt. Durch Zusammenrollendes Körpers kann er sein J fast auf 1/1 0 verringern, also äfast verzehnfachen und den Salto auf etwas mehr als 1 s, d. h.die Fallzeit für 5 m, zusammendrängen.2.3.9. Kippende MauerStehende Mauer der Höhe H: Auf ein Stück dx der Mauerwirkt senkrecht zur Mauer die Kraft dF = QAg sin a dx (A:Querschnittsfläche der Mauer, Q: Dichte des Materials).Auf einen Querschnitt im Abstand h vom Boden wirkt dasKnickmoment D(h) = J: (x-h) dF(x) =!QAg sina(H-h) 2 .Dieses Moment ist maximal, nämlich Dmax =! QAgH 2 sin a = ! MgH sin a am Fuß der Mauer. Dort brichtsie, wenn Dmax größer ist als das Zusammenhaltmoment Dz,das der Mörtel ausübt. Mit einer Zerreißspannung u folgtDz = !ubd 2 (b: Breite, d: Dicke der Mauer); oder mit derZerreißgewichtslänge l, definiert durch u = gQl, bricht dieMauer bei sin a 2; ld I H 2 .Kippende Mauer der Höhe H: Die unteren Ziegel würden,wenn die Mauer nicht zusammenhielte, früher auf demBoden aufschlagen. Wenn die als Ganzes kippende Mauerallen Ziegeln die gleiche Fallzeit aufnötigt, entstehen Spannungen,die zum Knicken mit dem Bauch voran führen.Aus der Bewegungsgleichung Jii = D mit J = !MH 2 ,D = !MgHsina folgt ii = ~gH- 1 sina für das ungebrocheneKippen. Ein Mauerteil in der Höhe x wird dabei mitxii = ~gxH- 1 sina beschleunigt. Die Fallbeschleunigungsenkrecht zur Mauer ist im Bezugssystem der Erde g sin a,also die Beschleunigung. im Bezugssystem der kippendenMauer gsina(l - ~xiH). Auf einen Querschnitt in derHöhe h wirkt jetzt seitens der darüberliegenden Mauerteiledas KnickmomentD(h) = 1H (x - h)QAg sin a(l- ~xiH) dx= - !Mgsinah(l-hi H ) 2 •Dieses Moment ist maximal, nämlich Dmax =- f-t MgH sin a, für h = t H. Dort wird die Mauer brechen,und zwar bei einer Neigung mit sina = I}ldiH 2 . Vondiesem Bruch an können die oberen ~ frei fallen, währendim unteren Drittel u.U. weitere Brüche eintreten können.2.3.10. FlugzeuglandungZunächst rutschen die Räder über die Piste. Die ReibungfJ,Mg und ihr Moment T = JJ.Mgr versetzen sie allmählichin Drehung (M: Flugzeugmasse, r Reifenradius, MomentT für alle Räder zusammen). Winkelbeschleunigungw = TIJ = JJ.Mgl (mr) (m: Masse aller Räder). Wenn dieRäder nicht mehr gleiten, sondern "fassen", ist wr = v(v Landegeschwindigkeit). Dies erreichen sie nach derZeit t = vl (wr) = vmi(JJ.Mg). In dieser Zeit rutscht dasFlugzeug die Strecke x = vt = mv 2 I (JJ.Mg). Die Reibungverrichtet auf dieser Strecke die Arbeit W = Fx = mv2. Genaudie Hälfte steckt in der Rotationsenergie der Räder, dieandere Hälfte muß in Wärme übergehen. Geringes v verringertW, große Reifen- und Felgenfläche verbessern die Wärmeabgabe.2.4.1. Radi-GleichgewichtGegen ein kippendes Drehmoment D, das z. B. von einerSchrägstellung um den Winkel a herrührt, D = mgh sin a,schützt sich der Radler, indem er eine Kurve vom KrümmungsradiusR beschreibt, deren Zentrifugalkraft ein entsprechendesMoment ausübt: Dz = mifhcosai R = D ,also R = v 2 I (g tan a). Das gelingt mit einer um so flacherenKurve, je größer v ist, z. B. bei v = 36 kml h = 10 m/s und