Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1162 Lösungen zu den Aufgaben14.1.10. Bucky ballEulers Satz über einfach zusammenhängende Polyeder: DieAnzahl der Ecken plus der der Flächen ist immer um 2 größerals die Anzahl der Kanten, E + F = K + 2. Beweis: Manbaut das "Netz" des Polyeders auf, ausgehend von einemDreieck, für das natürlich E + F = K + 1 gilt. Bis dasNetz fertig ist, fügt man Dreiecke an,wobei sichE + F- K nicht ändert (zum Aufbau eines Fünfecks z. B.muß man an das ursprüngliche zwei neue Dreiecke anfügenund die beiden entstehenden Diagonalen auslöschen; solleine neue Fläche entstehen, läßt man die Grenzlinie stehen).Zum Schluß braucht man das Netz nur ins Räumlichezu ziehen und durch einen Deckel als letzte Fläche zu schließen:E + F - K = 2.Nun setzen wir x Fünfecke und y Sechsecke zusammen.Sie haben, einzeln betrachtet, zusammen 5x + 6y Ecken undebensoviele Seiten, aber erst zwei solche Seiten bilden eineräumliche Kante, drei solche Ecken eine räumliche Ecke(vier oder mehr solche Polygone können nicht in einerEcke zuammenstoßen, denn ihre Winkel geben zusammenmehr als 360°). Der Polyedersatz heißt hier also(5x + 6y)j3 +x + y = (5x + 6y)/2 + 2. Beim Umordnenbleibt x = 12, und y fällt ganz weg: Die Anzahl der Sechseckeist hierdurch nicht bestimmt. Schon mit y = 0 entstehtdas Dodekaeder. Verlangt man noch Semiregularität (das Polyedersoll aus lauter regulären Fünf- und Sechseckenbestehen und in eine Kugel einbeschrieben werdenkönnen), bleibt außerdem nur noch y = 20, der Fulleren-Fußball.14.2.1. AbtasttheoremAm einfachsten ist wieder die komplexe Darstellung. Dieaugenblickliche Auslenkung des Gitterpunktes Nr. n in einerWelle mit dem Wellenvektor k ist gegeben durch den Imaginärteilvon eiknd. Dabei kann n alle ganzen Zahlen von -oobis +oo durchlaufen. Die Punkte eiknd verteilen sich auf demEinheitskreis als Vielfache des Grundwinkels kd. Genau diegleichen Punkte kommen auch heraus, wenn man 271' - kd alsGrundwinkel benutzt, allerdings mit anderer Zählung derVielfachen, nämlich rückwärts statt vorwärts. Die Wellenzahlk' mit k' d = 271' - kd oder k' + k = 271' / d beschreibtdie Auslenkungen der Teilchen also genausogut In Wellenlängenergibt sich 1/ A + 1/ A' = 1/ d: Die Gitterkonstante istdas harmonische Mittel der beiden in Frage kommendenWellenlängen. Wenn die eine größer als 2d ist, bleibt die anderekleiner. Man erfaßt also alle Möglichkeiten allein mitA ~2d (ebensogut könnte man auch alle), ~2d nehmen).Für fortschreitende Wellen dreht sich das Bild, und zwardas k-Bild links herum, das k' -Bild rechts herum. Die beidenmöglichen Wellen sind gegenläufig. Da ihre w gleich sind,verhalten sich ihre Phasengeschwindigkeiten w1ec-1 + c'-1 = 21rj(wd).14.2.2. Einsteins spezifische WärmeIm klassischen Fall muß die Fläche unter der N ( e )-Kurve T­unabhängig sein, bei Einstein die Summe der Nj, denn beidestellen die Gesamtzahl der Oszillatoren dar. Beide Verteilungenklingen aber um so steiler mit e ab, je kleiner T ist. Daherist J c;N(c;) dc; bzw. ~jN_j sehr viel kleiner, wenn T klein ist.Die meisten Oszillatoren haben immer die Energie 0, aber dergrößte Beitrag zur Energie stammt von denen mit e = kT(Ableitung von e e-e/(kT) verschwindet bei 8 = kT). SolcheOszillatoren sind e-mal seltener als die mit 8 = 0. Die Breiteder N(8)-Verteilung, nämlich N(8)/N 11 (8) an der Stelle8 = kT, ist kT. Gesamtenergie :=::; Breite · Höhe :=::; NkT.Bei Tun« kT ist die'Einstein-Verteilung nicht von der klassischenzu unterscheiden. Im anderen Grenzfall muß W beiEinstein viel kleiner bleiben, weil selbst der erste Term praktischnoch außer Reichweite ist.14.2.3. Debyes spezifische WärmeNach Debye steht ein parabolisches, bei k = 1r / d abbrechendesw(k )-Spektrum von Oszillatormodes zur Verfügung. Jederdieser Modes kann nach Einstein j-fach angeregt sein.Der Beitrag zur Gesamtenergie steigt mit T, bleibt abervon w :=::; kT /Ii ab hinter der Parabel zurück( (!)3 I ( eliw I ( kT) - 1)). Für T » e wird die ganze Parabel ausgenutzt(klassischer Grenzfall). T muß andererseits sehr kleingegen e sein, damit der Energiebeitrag nur von w ;S kT jnstammt, d. h. damit die T 3 -Näherung gilt. T = e /3 liegtnoch deutlich im komplizierten Übergangsbereich(Abb. 14.29). Bei kleinen T läuft die spezifische Wärmenach Debye flacher als nach Einstein, weil Debye auch energieärmereSchwingungen zuläßt, deren erste Terme immer inReichweite liegen. Die Anzahl solcher Modes nimmt allerdingsmit abnehmendem T parabolisch ab.14.2.4. Wie zählt man Wellen?In den würfelförmigen Hohlraum vom Volumen a3 passenstehende Wellen nur bei),= 2ajn. Im Intervall (v, v + dv)liegen 47ra 3 c 3 v 2 dv solche Wellen. Beim Licht zählt jededoppelt (2 Polarisationsrichtungen), beim Schall dreifach(1 longitudinale, 2 transversale Richtungen). Rayleigh­Jeans setzen für die Energie jeder Elementarwelle kT,Wien W e-w /(kT) mit der Boltzmann-Wahrscheinlichkeitund W = hv in heutiger Schreibweise, Planck und Debyesetzen hvj(e"v/(kT)- 1). Debye muß bei der Maximalfrequenz1rc / a abschneiden, beim Licht braucht man dasnicht, weil der Hohlraum keine Körnung hat.14.2.5. DispersionBei m1 = m2 wird~= m/2, alsow 2 = 2Dm- 1 ( 1 ± V 1 - sin 2 (kd/2))= 2Dm- 1 (I± cos(kd/2)).Unterschied: d/2 statt d (Teilchenabstand halb so groß wiedie Gitterkonstante); Auftreten des optischen Zweiges1 + cos(kd/2). Verschiedenheit von Massen oder Ladungenist nicht maßgebend für das Auftreten des optischen Zweiges(wohl aber für seine Absorptionseigenschaften), sondern nurdie Tatsache, daß die Elementarzelle zwei Teilchen hat. In derkurzwelligen Grenze sind optische und akustische Frequenzbeide 2D / m; der verbotene w-Bereich ist für m 1 = m2 nicht