Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 9: Lösungen 1105folgt J < J': Bei symmetrischem Durchgang ist die Ablenkungschwächer als bei senkrechtem Einfall.9.1.16. Minimale AblenkungWir zeichnen nur die Symmetrieebene des brechenden Winkelsy. a sei der Winkel, unter dem ein Strahl gegen dieseEbene einfällt, ß der Ausfallwinkel, definiert wie inAbb. L.9. Der Strahl wird dann um b = 180° - r:t.- ß abgelenkt.Wir tragen ß als Funktion von a auf. Da der Strahlengangumkehrbar ist, muß die Beziehung zwischen r:t. und ßsymmetrisch sein. Wenn z. B. der Ausfallwinkel ß = 53°zum Einfallswinkel r:t. = 48° gehört, muß beim Einfall unter53° der Ausfall unter 48° erfolgen. Man kann also r:t. und ß inder Beziehung ß = f(a) vertauschen, d. h. die Funktion fmuß gleich ihrer eigenen Umkehrfunktion sein, d. h. dasBild von ß = f(a) muß, an der 45°-Geraden a = ß gespiegelt,in sich selbst übergehen. Unter den steigenden Funktionenß = f(a) gibt es nur eine, die das tut, nämlich a = ßselbst. Das würde bedeuten, daß der Durchgang immer symmetrischist, bei r:t. = 90° z. B. müßte auch ß = 90° sein, alsob gar kein Prisma da wäre. Die Lösung r:t. = ß trifft also nichtzu. Die einzige andere Möglichkeit ist eine fallende ß(a)­Kurve. Sie muß irgend wo die 45° -Gerade a = ß schneiden:Der Schnittpunkt entspricht dem symmetrischen Durchgang.Die Kurve ß(a) kann durch diesen Punkt konvex, konkavoder gerade laufen ( a, c, bin Abb. L.9). Der Fall b würdebedeuten, daß die Ablenkung J = 180° - a - ß immergleich ist. Im Fall a ist r:t. + ß bei symmetrischem Durchgangmaximal, J also minimal; im Fall c ist es umgekehrt. Welcherder drei Fälle zutrifft, läßt sich jetzt durch Vergleich der symmetrischenAblenkung mit einem anderen Fall feststellen,z. B. mit dem senkrechten Einfall (Aufgabe 9.1.15). Dortwar die Ablenkung stärker, also ist sie allgemein bei symmetrischemDurchgang minimal.9.1.17. DreikantprismaEin Prisma mit rechteckigem Querschnitt wird entweder sovom Lichtbündel durchsetzt, daß dieses einfach an zweiGrenzflächen gebrochen wird (dann benutzt man effektivwieder ein Dreikantprisma mit rechtwinklig-dreieckigemQuerschnitt), oder daß es an zwei oder mehr Grenzflächengebrochen und an einer oder mehreren reflektiert wird.Bei zwei Brechungen und einer Reflexion heben sich aberdie beiden Dispersionseffekte ganz oder teilweise auf,ganz z. B. bei symmetrischem Durchgang: Das rote unddas blaue Bündel fallen zwar leicht gegeneinander versetzt,aber parallel zueinander wieder aus.9.1.18. RückstrahlerSchwenkt man einen Spiegel um den Winkel q; in einerEbene, die das Lot zum Spiegel und den einfallenden Strahlenthält, dann wird der ausfallende Strahl um 2q; geschwenkt.Das nutzt man in allen Lichtzeigerinstrumenten aus (Spiegelgalvanometer,Drehwaage). Bei zweimaliger Reflexionim Winkelspiegel dagegen kommt es auf eine Schwenkungdes Spiegels nicht mehr an: Der reflektierte Strahlläuft gegenden einfallenden immer unter dem Winkel 2r:t., falls er in derl/Abb. L. 9. In symmetrischer Lage lenkt ein Prisma minimal abEbene der beiden Spiegellote einfällt. Bei a = 90° z. B.kommt er immer genau in umgekehrter Richtung zurück.Die Beschränkung auf die Lotebene fällt auch noch weg,wenn man einen dritten Spiegel senkrecht zu den beiden anderensetzt. Der Rückstrahler am Fahrrad, bestehend aus vielensolchen rechtwinkligen Eckspiegeln, strahlt also unabhängigvon seiner Stellung im Idealfall alles Licht auf dessenErzeuger zurück. Die Totalreflexion in einem Prisma vermeidetnoch die Spiegelverluste. Mein zweimaliges Spiegelbildim Winkelspiegel sieht so aus, als stünde mir einer gegenüber,der das Herz wieder links hat. Im Prismenfeldstechererfolgt zweimalige 180° -Ablenkung durch Totalreflexionin zwei 90°-Prismen (Verlängerung des Lichtweges, umdie Brennweite von Linsen großer Öffnung ausnutzen zukönnen). Alle Durchtritte durch Luft-Glas-Grenzflächen erfolgendabei entweder überhaupt senkrecht, oder so, daß sichdie aufeinanderfolgenden Dispersionen gegenseitig aufheben(vgl. Aufgabe 9.1.17). Die verschiedenfarbigen Bündellaufenalso evtl. etwas gegeneinander versetzt, aber parallel, wasdem Auge nichts ausmacht: Es vereinigt sie trotzdem aufeinen Punkt, man sieht keine farbigen Ränder.9.1.19. Camera obscuraIm Bild sind oben und unten vertauscht, rechts und linksauch, also ist es nach Umdrehen seitenrichtig. Ein ferner Gegenstandspunkterzeugt einen Lichtfleck vom Lochdurchmesserd, wozu aber bei kleinem d das Beugungsscheibchenvom Durchmesser = },ajd kommt (a: Abstand zur ~euwand,::_gl. (4.74)). d + ).aj d hat ein Minimum 2v').a beid = v' },a, d. h. nur 1 mm für a = 2 m. Die Helligkeit istdann natürlich sehr gering; sie geht wie d2.9.1.20. Kommen wir da durch?Aus der Konstruktion eines Büschels, das von P ausgeht,aber von P' herzukommen scheint, ergibt sich nachAbb. L.lO (s. nächste Seite) die Parameterdarstellung x =- lcosy-hj tan y, y =-lsin y mit l=dsin 2 yj (nsin 3 ß).Nach y(x) läßt sich das nicht auflösen.9.2.1. Gärtnerlatein?Wasser hat die Brechzahl n = 1 ,33. Ein kugeliger Tropfen,als dünne Linse betrachtet, hätte die BrennweiteJ=!r/ (n-!) = 1,5r. Für die dicke Linse ist die Brennweitenicht vom Mittelpunkt, sondern von der Hauptebenean zu rechnen, die nach (9.19) um 2r/ (2n) = 0,75r vomrückwärtigen Scheitel der Kugel entfernt ist. Der Brennpunkt(der, wie jedes Experiment zeigt, herzlich schlecht aus-