Lösungen zu den Aufgaben - Springer

..Kapitel17: Lösungen 1 1 1197IIIIfrei aufnehmen. Mit 4,7 bit/Buchstabe bedeutet das etwa28 bit/s. Einen sinnvollen Text liest man sehr viel schneller.Offenbar errät man das meiste, übersieht aber auchz. B. Druckfehler. Ein Schwarz-Weiß-Fernsehbild (625 x833 ;::.:; 5 · 105 Bildpunkte mit etwa 30 ;::.:; 25 unterscheidbarenHelligkeitswerten) enthält 25 · 10 5 bit - viel mehr alsder ganze Harnlet Der Kasten flimmert uns fast 108 bits/svor. Um die Information eines Bildes vollständig aufzunehmen,würde unser Sinnesapparat etwa 24 Std brauchen. ZumGlück ist das Bild meist einigermaßen sinnvoll, und vor allemscheinen die meisten Einzelheiten unwesentlich. Wennjemand alles aufnähme, was er im Leben sieht, käme er größenordnungsmäßigauf 10 17 bit. Sein Sinnesapparat kannaber höchstens 10ll bit aufnehmen. Das Gehirn verarbeitetviel weniger, sonst wüßte man ja soviel, wie in 104 dickenBüchern steht. 1 000 Seiten zu 2 000 Buchstaben: 107 bit.In Wirklichkeit enthält ein Buch viel weniger Information,sonst würde jedes Wort, jeder Buchstabe uns als unerwartetüberraschen, und das Buch wäre ungenießbar.17.1.12. Das letzte BitDa die Zauberin vier Karten sieht, kommen nur noch 48 Zielkartenin Frage. Die vier Karten im Umschlag können auf4! = 24 Arten angeordnet sein. Man kann diese Permutationennumerieren und den ebenfalls numerierten Zielkartenzuordnen. Es fehlt aber immer noch 1 bit Information, umdie 24 "Code-Wörter" auf 48 zu erweitern. Zauberers bewohnenzwei anstoßende Hotelzimmer. Dadurch, daß der Zaubererdem Zuschauer die Nummer eines davon nennt und dieserdann an die entsprechende Tür klopft, erhält die Zauberin dasfehlende bit.17.1.13. Protein-InformationEs kann 200 20 ;::.:; 10 46 verschiedene Proteinmoleküle derLänge 200 geben. Ob man die der Länge 199 mitzählt,macht kaum etwas aus, denn es sind 20mal weniger. Wenndie organische, besonders bakterielle und pflanzliche Substanzdicht gepackt die Erdoberfläche überall 10 cm dick bedeckt(Mittel von Wald, Wüste, Meer usw.), gibt es bei 3 %Proteingehalt etwa 10 18 g Protein auf der Erde. Eine Aminosäurewiegt im Mittel etwa 10- 22 g, also gibt es z. Z. kna~10 38 Proteinmoleküle, in 3 · 10 9 Jahren hat es maximal 10 5Moleküle gegeben. Zwar wäre jede Möglichkeit nach demZufallsspiel schon oft dagewesen. Aber die Kombinationvon mehr als drei bestimmten Proteinen wäre unmöglich zufälligzu erzeugen. Ein höherer Organismus enthält aber an10 24 Proteinmoleküle, die einigen 10 000 Klassen mit genaubestimmter Sequenz angehören. Die moderne Molekularbiologiebeginnt gerade das Wechselspiel von Regelung, Vererbung,Selektion zu enthüllen, das diese Hürde an Unwahrscheinlichkeitüberwunden hat.17.2.1. Mikro- und MakrozuständeDer Mikrozustand ist gekennzeichnet durch Angabe "rechts"oder "links" für jedes Molekül, der Makrozustand durch "nrechts, N- n links". Wahrscheinlichkeit (~)2-N und EntropieS = NlnN- Nln2- nlnn- (N- n)ln(N- n) sindmaximal für n = N /2. Obwohl die Übergangswahrscheinlichkeitenhin und zurück zwischen zwei Mikrozuständenvöllig gleich sind, besteht ein ausgeglichener Makrozustandaus soviel mehr Mikrozuständen als ein extremer, daß es vielsicherer ist, daß der extreme Zustand in irgendeinen der vielenausgeglichenen Mikrozustände übergeht als umgekehrt, besondersbei großem N. Die Entropie bei n = N /2 ist S ;::.:; 0,nach Abschn. 17.2.8 ist sie S = (W - F)/T = kN(ln V+const). Der scheinbare Widerspruch verschwindet, wennman nicht die Halbkästen als Grundlage der Fallabzählungnimmt, sondern Volumenelemente von konstanter Einheitsgröße.17.2.2. Arbeit und WärmeWenn der Zustand i eines Teilchens seine Energie b; ändert,kann das nur daher kommen, daß das Teilchen durch eineKraft F; um ein Stück dx; verschoben worden ist (z. B. durchdie Kraft eE): db; = F dx;. Voraussetzung ist, daß das Teilchenin diesem Zustand bleibt, d. h. daß dn; = 0. Damit istI: n;F; dx; die Summe aller Arbeiten, die man auf die Teilchenleistet. Wenn man den 1. Hauptsatz voraussetzt, mußI: b; dn; der andere Teil der Energieänderung, also die WärmezufuhrdQ sein. Man kann aber auch von der Definitionder Entropieänderung dS = dQ/T ausgehen. Aus (17.9)folgt dS = -k I: ln n; dn;. Die Boltzmann-Verteilung liefertlnn; = const- bi/(kT). Das erste Glied fällt in der Summeweg, denn I;dn; = 0. Also dS = T- 1 L;b;dn;, d.h.dQ = L;b;dn;.17 .2.3. Boltzmann-VerteilungDer einfachste Vorgang, der W konstant läßt, ist: "Ein Teilchenspringt aus i nach i + k, gleichzeitig springt ein Teilchenvon j nach j - k." Beim ersten Sprung ändert sich die Zustandswahrscheinlichkeitum den Faktor ni/ni+b beim zweitenum den Faktor n1jnJ-k· Die wahrscheinlichste Verteilungist die, bei der sich durch den Doppelsprung die Gesamtwahrscheinlichkeitnicht ändert, also n; / ni+k = nj-k / nJ. Für beliebigei, j, k ist das genau dann richtig, wenn die n; eine geometrischeReihe bilden: n; = n 0 qi = no eßb;. Das ist bereitsdie Boltzmann-Verteilung.17 .2.4. Entropiekraft17.2.5. Kräfte und Ströme17 .2.6. Onsager-RelationIn dem n + I-dimensionalen Phasenraum mit den Koordinatena1, .. . , an, S beschreibt die Funktion S = S(ai, ... , an)eine Fläche. Wo diese Fläche in S-Richtung am höchstenist, liegt das Gleichgewicht, der wahrscheinlichste Zustand.Das sei bei a; = a;o. Der Abstand in i-Richtung vondiesem Gipfel ist IJ.; = a;- a; 0 . In der Umgebung des Gipfelssieht der Berg immer aus wie ein Paraboloid:S = So - L; k l;klJ.ilJ.k. Die Krümmungen in verschiedenenRichtungen sind verschieden, weil die Parameter a; "naiv"gewählt sind und nicht so normiert, daß sie auf S alle dengleichen Einfluß haben. Es liegt keine Hauptachsendarstellungvor, d. h. die gemischten Glieder haben l;k # 0, weildie verschiedenen Parameter nicht nur unabhängige, son-