Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIIIII1084 Lösungen zu den Aufgabenponente von rot b erkennt. Zusammengefaßt: div(a x b) =-a · rot b + b · rot a. Speziell bei konstantem a istdiv(a x b) = -a ·rot b. rot (a x b) ist noch etwas mühsamerauszurechnen. Man findet rot (a x b) = a div b­b div a - a · gradb + b · grada. Hierbei ist grada eineMatrix, deren i-ter Zeilenvektor der gewöhnliche Gradientvon a; ist. Wenn a konstant ist, bleiben davon offensichtlichnur die Glieder a div b- a · gradb.7.1.6. Vektoranalysis IINach Aufgabe 7.1.5 bleibt bei konstantem v = (v,O,O) nurvgradE = vkEi,k = v8E/8x übrig. Der Zeit dt entsprichtein Vorrücken um dx = v dt, also eine FeldänderungdE = dx8Ej8x. Daher ist vdiv E +rot (Ex v) die Änderungsgeschwindigkeitvon E infolge dieses Vorrückens.Das gilt auch bei allgemeiner Richtung von v. In der Hydrodynamikergibt sich die Beschleunigung, die ein Flüssigkeitsteilchenerfährt, aus der "ortsfesten" Beschleunigung 8v / 8tplus der Änderung infolge Strömens in ein Gebiet mit anderemv-Wert: vgrad v = vdivv +rot (v x v). Das ist der Beschleunigungsanteil,der in Abschn. 3.3.4 als az bezeichnetwurde. Für eine inkompressible Strömung ist div v = 0,sonst würde sich die Dichte ändern. In diesem Fall istaz =rot (v x v).7.1.7. Relativität der FelderGestrichene Größen beziehen sich auf das Bezugssystem desRaumschiffes, ungestrichene auf das ,,ruhende". Die zeitlicheB 1 -Änderung im Raumschiff setzt sich zusammen aus derungestrichenen und einem Anteil infolge der Bewegun.~ inein Gebiet mit anderem B (vgl. Aufgabe 7.1.6): B =iJ + vdiv B +rot (B x v). Entsprechend für D: iJ' =iJ + vdiv D +rot (D x v). div B ist überall 0, div D = g.Im Raumschiff gelten die Maxwell-Gleichungen:• I •rot H 1 = D + j = D + QV +rot (D x v) + jrot E = -B = -B - rot B x v .I • I • ( )Soweit wie möglich in ungestrichenen Größen ausgedrückt,heißt dasrot (H 1 + v x D) = D+ j+ gv rot (E 1 - v x B) = -iJ.Vergleich mit den Maxwell-Gleichungen des Ruhesystemszeigt: (1) Zur Stromdichte j des Leitungsstroms, den beideBeobachter messen, kommt für den ruhenden noch derKonvektionsstrom QV. Wenn Teile des Raumschiffs geladensind, repräsentieren sie natürlich für das Ruhesystem eineStromdichte gv. (2) E = E 1 - v x B, H = H 1 + v x D. StattEist also E 1 = E + v x B das im Raumschiff wirksame Feld.Die Ladungen im Raumschiff unterliegen nicht nur derCoulomb-Kraft eE, sondern einer Zusatzkraft ev x B. DieseLorentz-Kraft ist kein neues Postulat, sondern wächst automatischaus der Coulomb-Kraft heraus. Bei v ~ c sind nochrelativistische Korrekturen anzubringen (Division durchy'1 - v2 jc2). Überhaupt ergeben sich diese Transformationenin der Relativitätstheorie ganz zwangsläufig (vgl. Aufgabenzu 15.3).7.1.8. Space talkDie Rakete fliege mit v relativ zu uns. Der Funkspruch desAstronauten könnte so lauten: "Da fliegt ein geladenes Teilchenmit der Geschwindigkeit -v. Es herrscht ein MagnetfeldB. Trotz der Lorentz-Kraft -ev x B fliegt das Teilchengenau geradlinig. Also muß außer dem B-Feld noch einE-Feld senkrecht dazu und zur Flugrichtung des Teilchensherrschen, so daß die Coulomb-Kraft eE die Lorentz­Kraft -ev x B genau kompensiert. Dieses Feld muß alsoE = v x B sein. Tatsächlich: In meiner Rakete werdengeladene Teilchen von diesem E-Feld alle beschleunigt."Für uns ist die Beschleunigung der Teilchen in der Raketerelativ zu dieser auch beobachtbar. Wir erklären sie nichtdurch ein E-Feld, sondern durch die Lorentz-Kraft ev x B,die diese mitfliegenden Teilchen ja erfahren müssen. Auchso ergibt sich wieder, daß für den Raumfahrer aus dem B­Feld ein E-Feld E = v x B herauswächst.7.2.1. KreisstromFür den Mittelpunkt der Kreisschleife vom Radius a ist imBiot-Savart-Gesetz für alle Leiterelemente rx = 90° undr = a, also H = 27rla/(47ra2 ) = I/(2a). Das Feld zeigt inAchsenrichtung, und zwar nach der Definition des Vektorproduktsso, daß der Strom, in Feldrichtung gesehen, im Uhrzeigersinnumläuft. In einem Achsenpunkt im Abstand r 1 vonder Kreismitte ist immer noch rx = 90°, aber r = v r 1 2 + a2also H=!Iaj(r+a 2 ); bei r 1 »a ist H=!Ia/r 12 . Dieübrigen Fragen werden in der Lösung zu Aufgabe 7 .4.1mitbeantwortet.7.2.2. Kurze SpuleBeim Rohr der Wandstärke d, umflossen von der Stromdichtej, ist jd der "Amperewindungszahllm" ni gleichzusetzen.Auf dem Rohrabschnitt dr fließt der Strom I = dj dr. DieserAbschnitt liefert nach Biot-Savart einen BeitragdH = !dja 2 drj(a2 + r2) 3 1 22 .Man muß nämlich nur die axiale Komponente nehmen, alsodie Feldstärke von (7.38) noch mit dem Richtungssinusaj ya2 + r2 multiplizieren (Abb. 7 .23). Der Ausdruck dHmuß über r von -L/2 bis L/2 integriert werden. DaJ(a2 + r2)- 3 1 2 dr = ra-2(a2 + ?)-l/Z ist, ergibt sichschließlich für das Feld in der Spulenmitte H =jdL/vL2 + 4a2 =NI jvL2 + 4a2, wo N = nL die Gesamtwindungszahlist. Für L » a (lange Spule) ist H = nl, fürL « a und N = 1 (Kreisring) ist H = I/ ( 2a). Denkt mansich die kurze Spule in zwei Hälften zerschnitten, dannleistet jede davon den Beitrag H = NI/ (2vL2 + 4a2 ) zumFeld in der Mitte. Mit ihrer Länge I! = L/2 erzeugtalso jede S ule in ihrer Endflächenmitte ein Feld H =NI/ J!2 + 16a2.7.2.3. Bohr-MagnetonNach Aufgabe 7.2.1 herrscht im Mittelpunkt einer Kreisschleifevom Radius r, durch die der Strom I fließt, dasMagnetfeld H = I/(2r). Wenn das Feld in der Kreisebenediesen Wert bis zum Draht behält (was ungefähr zutrifft),