Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1126 Lösungen zu den Aufgaben12.1.2. PanspermieDie Intensität (Energiestromdichte) des Sonnenlichts inErdnähe wird durch die Solarkonstante gegeben: I =1400 W 1m 2 . Daraus ergibt sich der Strahlungsdruck durchDivision durch c, d. h. Pstr R:J 5 · 10- 6 N 1m 2 . Nahe derSonne ist PStr um den Faktor R 2 I a 2 R:J 5 · 10 4 größer (R: Sonnenradius,a Abstand Erde-Sonne). Allgemein gilt im Abstanda von einem Stern mit dem Radius R und der OberflächentemperaturT: Pstr = c- 1 rJT 4 R 2 la 2 . Die Kraft auf einTeilchen vom Radius r ist Fstr R:J 1rr 2 pstr, die GravitationFG R:J 11rGMgr 3 la 2 . Das Verhältnis der beiden Kräfte hängtalso nicht vom Abstand, sondern nur von der Teilchengrößeab. Im Feld der Sonne werden beide gleich bei r R:J l!lm. Fürkleinere Teilchen (Sporen kleiner Bakterien, Phagen, Viren)überwiegt der Strahlungsdruck, z. B. ist er für r = 0, 111mzehnmal größer als die Gravitation. Unter deren Einfluß alleinwürde der Sturz von der Erdbahn zur Sonne etwa zweiMonate dauern (Ellipse mit halber großer Halbachse wie dieErdbahn, drittes Kepler-Gesetz). Umgekehrt wird das0,1 11m-Teilchen in nur sechs Tagen von der Sonne zurErde geblasen, in einem halben Jahr zum Pluto. Die Endgeschwindigkeit,mit der es das Sonnensystem verläßt, istVfümal größer als die Endgeschwindigkeit, mit der ein Körperaus dem Unendlichen in die Sonne stürzt, also etwa130km/s. Die Reise bis zu den nächsten Fixsternen dauertso einige zehntausend Jahre. Die Landung auf einem Planetenerfordert allerdings offenbar, daß sich das Teilchen an eingrößeres (Meteorit) anlagert oder immer im Planetenschattenbleibt, was kaum möglich ist. Die UV- und Teilchenstrahlungensind die größte Schwierigkeit für die Panspermie­Theorie.12.1.3. Strahlungs- und GasdruckMan schätzt die Temperatur im Sonneninnern aus der Bilanzvon Gravitations- und gaskinetischem Druck und aus derAusbeute der Fusionsreaktion auf etwa 10 7 K (vgl. Aufgaben5.2.6-7). Ein Fingerhut voll Sonnenkernmaterie übtnahebei einen Strahlungsdruck c- 1 rJT 4 R:J 10 12 N 1m 2 =10 7 bar aus, würde also noch in etwa 1 km Abstand jedenMenschen umblasen (wenn beide nicht sofort verdampften).Trotzdem ist der gaskinetische Druck noch höher:Man schätzt die Dichte auf etwa 100 g/cm 3 also2 ,Pkin = nkT R:J 10 16 N Im . Erst bei etwa 10 8 K holt der Strahlungsdruckden gaskinetischen ein. Bei der Kernspaltungmacht jedes gespaltene Teilchen etwa 200 MeV frei, diesich zunächst auf die beiden Fragmente und einige Spaltneutronenverteilen. Ohne weitere Dissipation entspräche diesekinetische Energie einer Temperatur zwischen 10 12 und1013 K. In Wirklichkeit kommt es längst nicht zu so hohenTemperaturen, aber da eine U-Bombe die Fusion einer H­Bombe zünden kann, was mehr als 108 K voraussetzt,wird der Strahlungsdruck hier wesentlich.12.1.4. Compton-EffektDie Krx·Linie von Blei entspricht dem Übergang von derZweitinnersten auf die innerste Bahn um einen Kern mitder Effektivladung 81, hat also die Frequenz v =i R 0081 2 = 1,5 · 10 19 Hz und die Wellenlänge 0,2 A. Diemaximale A-Änderung (Rückstreuung) ist also 5%. Halbquantitativläßt sie sich schon durch Absorption nachweisen.Man nehme einen Stoff, dessen K-Absorptionskantev = R 00 (Z- 1) 2 im interessierenden Bereich liegt, d.h.Tm, Yb oder Lu. Er absorbiert das direkte Röntgenlichtviel weniger als das Streulicht. Quantitative Messung gelingtz. B. mit einem Vakuum-Drehkristall-Spektrographennach Bragg. Ein Kristallgitter mit der Gitterkonstanted R:J 1 A streut die um 5 % veränderte Wellenlänge erst,wenn man auch den Einfallswinkel 9 um etwa 5 % ändert(sin.9 = A.l(2d)).12.1.5. Seldowitsch-Sunjajew-EffektDer Energiesatz lautet h(v- v') = !m(v'2 - v2) =!m(v' + v)(v'- v). Angenommen, das Photon fliege weiter.Dann sagt der Impulssatz h(v- v')lc = m(v'- v).Division liefert das absurde Ergebnis v + tJ = 2c. Alsoprallt immer das Photon zurück, und der Impulssatz sagth(v + v')lc = m(v'- v). Jetzt folgt (v- v')l(v + v') =~(v+rl)lc. Da v«c, ist ~v«v, also ~viv=lV + v')lc. Bei v = 0 findet man (12.6) wieder (~A. =-c~vlv 2 ), bei ~v « v folgt ~viv R:J 2vlc; dies gilt fürWi « mec 2 We, also bestimmt für 3 K-Photonen. 10 6 K­Elektronen haben v R:J 10 7 m/s, also wird ~viv R:J 0,1.12.1.6. Mößbauer-EffektDie Breite ~w einer Spektrallinie ist etwa gleich der Dämpfungskonstanteder entsprechenden Schwingung (klassischgesprochen) bzw. der Übergangswahrscheinlichkeit zwischenden entsprechenden Zuständen (quantenmechanischgesprochen), jedenfalls gleich der reziproken Lebensdauerdes angeregten Zustandes. Für eine schwingende Ladung liefertdie Hertz-Theorie (Abschn. 7 .6.6) eine EnergieverlustrateP R:J e2w4a2s0 1 c-3 . Die Energie des schwingenden Zustandeskann, etwas inkonsequenterweise, w = nw angesetztwerden (mit dem rein klassischen Ansatz W = !mw 2 a 2käme eine ganz falsche Abhängigkeit heraus; probieren Siees aus!). Die Lebensdauer des angeregten Zustandes istr = WIP R:J neoc 3 e- 2 w- 3 a- 2 , die relative Breite der Linie~wlw = ll(rw) R:J w 2 e 2 a 2 l(hc 3 e0 ) = W 2 e 2 a 2 l(h 3 c 3 e0 ).Für die Amplitude (bzw. den für das Dipolmoment maßgebendenAbstand) a kann man in der Atomhülle etwa1 A setzen, im Kern dessen Radius von 10- 13 -10- 12 cm.Für sehr energiereiche y-Übergänge folgt W der nach demCoulomb-Gesetz zu erwartenden Abhängigkeit W ~ 1 I a.Solche Lini.~n sind ungefähr ebensobreit wie optische Linien.Die Uberschärfe der Mößbauer-Linien kommt erstbei kleineren y-Energien, etwa bei l-10keV, zur Geltung.Sie sind nach unserer Theorie etwa 10 5 mal schärfer. Alldies gilt für Dipol-Übergänge. Wenn sie durch Auswahlregelnverboten sind, erlaubt das komplizierte Kraftfelddes Kerns ::iel reichere Möglichkeiten an Quadrupol-, Oktopol-usw. -Ubergängen als das Coulomb-Feld der Atomhülle.Sie haben i. allg. kleinere Übergangswahrscheinlichkeiten,sind also noch schärfer. Im Kern sind die Teilchen gegendie übliche Druckverbreiterung geschützt. Die Doppler-