Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1204 Lösungen zu den Aufgabenman hinten wieder In erhält, das man natürlich mit dem vorderenzusammenfaßt In=! (2n- 1)In-I / n. So arbeitet mansich hinunter bis /0 = .Jo/2 sin 2 xd.x = 7r/4 (die sin 2 -Kurveschwingt symmetrisch um y = !). Also z. B. I3 =-!7r5·3·1/(6·4·2)=-!7r(-~1 2 ). allgemein In=( -1 r ! 7r ( - ~ 2 ).18.2.2. Noch ein IntegralEine Entwicklung nach cos a würde sehr schlecht oder garnicht konvergieren, weil dies sogar größer ist als cos a0 .Etwas besser sähe es aus, wenn man cos a = cos2 ( a / 2) -sin 2 (a/2) = 1 - 2 sin 2 (a/2) benutzt, also sin 2 (ao/2) -sin 2 (a/2) betrachtet, denn hier ist das zweite Glied meistkleiner als das erste, obgleich immer noch zu groß füreine vernünftige Entwicklung. Außerhalb haben die Integraleüber die einzelnen Glieder der Reihe, d. h. übersin 2 "(a/2), nur dann einigermaßen handliche Form, wenndie Integration sich von 0 bis 1r / 2 oder 1r erstreckt. Dies erreichtman, wenn man sin ( a / 2) / sin ( ao / 2) = sin v setzt undsomit dena-Bereich (O,ao) in den v-Bereich (0, 7r/ 2) transformiert.Wegen cosvdv = 2cos(a/2)da/sin(ao/ 2) gehtdann das Integral in ein sog. elliptisches Integral zweiter Gattungüber, und seine Binomialentwicklung lautet mit k =sin(ao/2)l rr/2dv001"0- 1/2---r==~=;;= = L ( ) (0 V 1 - k2 sin2 v n=O 0 n- k 2 sin 2 vt .Das Integral über sin 2 " v dv enthält merkwürdigerweise genauden gleichen Faktor (Aufgabe 18.2.1): .Jo/ 2 sin2" vdv= ~ ( -1 t (- ~ 2 ) . So erhält manr 0 interessieren uns große w. Bei mw 2 » D,mw2 » F/ x folgt aus (18.16) die Amplitude x1 ~J4m/(3E) w. Die nächste Näherung schreiben wir x1 =y'4m/ (3E) w + E und setzen dies in (18.16) ein, wobeiwir natürlich nur bis zum in 8 linearen Glied gehen. Es folgtunter Beachtung der Näherung 8 = - D/(2w)J4/(3mE).Der "Rüssel" (von dessen beiden Ästen eigentlich der eineim Positiven, der andere im Negativen liegt: Wurzelvorzeichen!Phasensprung um 1r beim Übergang vom einen zumanderen) wird nach rechts zu immer schmäler, seine Achsebildet die Gerade x = J 4m/ (3E) w. Im Fall E < 0 gibt esdann und nur dann drei Lösungen, also einen "Rüssel",wenn D > 3 ( F 2 E) 11 3 ist. Hier interessieren kleine w, speziellw = 0. Wie das w 2 in (18.16) zeigt, ist das ganzeXJ (w)-Bild symmetrisch zur x1-Achse, die Kurven schneidenalso diese Achse alle rechtwinklig (auch bei E > 0).Wie dick ist der Rüssel dort? Es geht um den Abstand zwischender größeren positiven und dem Betrag der negativenLösung vonx 3 - 4Dx/(3IEI) + 4F / (3IEI) = 0. Dax1 +x2 +x3 = 0 (kein quadratisches Glied vorhanden), ist dieser Abstandgleich der dritten Lösung. Wenn diese klein ist, ist diegleiche Näherung wie oben erlaubt und liefert eine halbeBreite E = -F / (2D).18.2.5. Van der PolVom Fourier-Ansatz x = L::::o an cos(nwt) + bn sin(nwt)brauchen wir im kleinen Störglied -8(x~ - x2)i nur diecos-Grundschwingung: - 8 (x~ - arcos2(wt))al w sin(wt) =-W J W (x~- aT/4) sin(wt) - (aT/4) sin(3wt) (vgl. BeispielS. 972). Dies muß gleich - mw 2 L:n 2 (an cos(nwt) +bn sin(nwt)) + D 'L:(an cos(nwt) + bn sin(nwt)) sein. DerKoeffizientenvergleich gibtTabelle L. 10au den co -Gliedernk= lmai = Dlt. - 2 (/! = 0k- 3 Cl3- 0au den sin-Giiedem0] = 2xtb! =018.2.6. Nichtlinearer SchwingkreisbJ = -w~w/(3 -D )&wxt/(40)j = (Uo cos(wt) - Rl - U) j L, U = I j(C(U / UI + 1)), mitx = U/ Uo, y = RI/ Uo, z = wt wird daraus x' =By(Dx + 1), y 1 = A(cos z- x - y). Bei A = 0,06, B = 10,D = 3 Dreierperiode, die schon bei D = 3,1 in eine Neunerperiodeaufspaltet. Die beste Annäherung ans Realexperimentergibt sich bei AB~ 10. Sinusform gilt nur, wenn beideGin. effektiv linear sind, also bei x « 1/ D, d. h. U « U1.Dann ist x = x 1 eiz, y = YI eiz mit komplexen x1 und Yl · Einsetzenliefert y1 = A / (A + i - iAB), x 1 = AB/(AB- 1 + i).Die Dgl. sind nichtautonom, formal kommt eine dritte dazu,nämlich z = w oder z! = 1, womit Poincare- Bendixson zufriedensind. Bei der normalen Diode sind U und I direktgekoppelt: I= lo(eeU/(kT)- 1), nicht U und Q wie beimVaraktor. Dann haben wir nur eine Gleichung Li + RI +(kT/ e) ln(I/ Io + 1) = Uocos(wt) bzw. zwei formal autonomeeinschließlich z = w.