Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitelu: Lösungen 111710.4.3. WellenpaketEine fortschreitende harmonische Welle hat im Zeitmittelüberall die gleiche Amplitude, das entsprechende Teilchenkann also überall mit gleicher Wahrscheinlichkeit sein.Zwei Wellen mit At und Al und gleichen Phasengeschwindigkeitenbilden eine Folge von Schwebungsmaxima im AbstandL1x = Xjt - A2t. Fügt man Wellen mit dazwischenliegendem}, ein, dann bilden sie Schwebungsmaxima, die ananderen Stellen liegen, bis auf das eine Maximum, wosich alle Teilwellen verstärken. Zum Schluß bleibt dahernur dieses eine Maximum erhalten. Nur im BereichLlx:::::; Aj""t - 22t ist eine merkliche Amplitude vorhanden,nur dort kann das Teilchen sein. Der WellenlängenbereichAt, Al entspricht nach de Broglie einem ImpulsbereichPt= hl At.Pl = hl Al, also ergibt sich die Unschärferelationlip Llx :::::; h zwischen lip und Llx.10.4.4. Makroskopische UnschärfeDie Orte von Stein (1 cm, 1 g), Sandkorn (0,1 mm, w- 6 g)und Bakterium (IJ..I.m, w-tl g) seien anfangs auf lJ..i.m genaufestgelegt und die Objekte, so gut es geht, zur Ruhe gebracht.Dann ist die Geschwindigkeitsunschärfeliv:::::; hl(milx):::::; 6 · w- 28 m/s für den Stein, 6 · w-11 m!sfür das Sandkorn, 6 · w- 16 m/s für das Bakterium. Nacheinem Tag sind die entsprechenden Verschiebungen alle unmeßbar,nach 30 Jahren nähert sich die des Bakteriums demmikroskopisch Sichtbaren (0,6J..i.m), in einem Weltalter sindsie 0,2nm, 0,2mm, 20m, also sogar für das Sandkorn deutlich.10.4.5. UnschärferelationEin Teilchen, dessen Ort mit einem Höchstfehler d festgelegtist, hat einen Mindestimpuls p :::::; h I d, eine Mindestenergiep 2 I (2m) :::::; h 2 I ( 2md 1 ). Das ist die Nullpunktsenergie desquantenmechanischen Teilchens, die nicht unterschrittenwerden kann und die für viele klassisch unverständlicheEffekte, vom Einfrieren thermischer Freiheitsgrade biszum Planck-Gesetz, verantwortlich ist. Die Absenkung derNullpunktsenergie bei Erweiterung des Kastens (Vergrößerungvon d) ermöglicht die chemische Bindung. - In derWinkelangabe eines drehbaren Objekts kann man höchstenseinen Fehler 21r machen. Daher sind Drehimpulse umhl (27r) = li unscharf, anders ausgedrückt: Jeder Drehimpulszustandbeansprucht einen Bereich li, zwei solche Zuständemüssen sich im Drehimpuls um li unterscheiden. Dasist das Bohrsehe Postulat, aus dem die Theorie des H-Atomsfolgt. -Die Energie eines Systems mit der Lebensdauer fit istnur auf Ii W :::::; hl fit gerrau festgelegt. Genauso hängt dieLebensdauer eines Atoms oder Kerns mit der Breite seineroptischen oder y-Spektrallinien zusammen. Im Fall derAtomhülle wird diese Lebensdauer nur selten durch denDämpfungsprozeß bestimmt, der der Strahlung inhärentist, sondern meist durch Stöße mit anderen Teilchen (Stoßverbreiterung).Kerne sind davor weitgehend geschützt,und daher haben Mößbauer-Linien ihre außerordentlicheSchärfe. Im Festkörper verbreitern sich die scharfenEnergiezustände der Atome zu Energiebändern, weil dieElektronen von Atom zu Atom tunnein können. Der Tunneleffektselbst ist auch eine Folge der Unschärferelation: Wennein Teilchen sich genügend beeilt, darf es sogar ein Gebietdurchqueren, wo die potentielle Energie höher ist als dieTeilchenenergie. Der Austausch virtueller Teilchen, der dieWechselwirkungen vermittelt, funktioniert ähnlich. KeinGebiet der modernen Physik bleibt unberührt von derUnschärferelation.11.1.1. Ausrede für Verkehrssünder?Wenn die grüne Lampe nur im Grünen (sagen wir, zwischen500 und 550nm), die rote nur im Roten (650-700nm) emittierte,sähe allerdings bei gleicher Gesamtstrahlungsleistungdie grüne ca. 20mal heller aus. Bei allen Glühlampen wirdaber die Farbe subtraktiv aus Weiß erzeugt: Durch ein Filterglas,das selektiv im Grünen absorbiert, erscheint eine weißeLampe in der Komplementärfarbe, also rot. Das Auge empfängtdaher von beiden Lampen etwa die gleiche Strahlungsleistung(minus dem schmalen absorbierten Band) und bemißtdie Stärke seines Farbeindrucks danach. Neon-Lampen(nicht Leuchtstoffröhren!) dagegen strahlen wirklich nur inbestimmten Spektralbereichen. Für sie trifft zu, daß einerote Lampe mehr Leistung aufbringen muß.11.1.2. AbstandsabhängigkeitVom Abstand hängt weder der Lichtstrom noch seine Richtungsverteilung,also die Lichtstärke ab, wohl aber die Be-leuchtungsstärke (wie r- 1 ); die Leuchtdichte bleibt konstant,denn die scheinbare Fläche des Strahlers (Glühfadenusw.) nimmt ebenfalls wie r- 1 ab. Der Spiegel ändert,wenn er verlustfrei reflektiert, nicht den Lichtstrom, aberganz erheblich die Lichtstärke. Das Filter beschneidetauch den Lichtstrom.11.1.3. KerzenDie Lichtstärke (Lichtstrom!Raumwinkelelement) hängt vonder Geometrie der Lampe und des Reflektors, Kondensorsusw. entscheidend ab. Konstant ist der Lichtstrom, den dieLampe insgesamt hergibt. Da der Raumwinkel dimensionslosist, liegt die Verwechslung zwischen Im= cd sterad undcd nahe. Eine "Neukerze" gibt einen Lichtstrom von47rcd = 12,6lm her. Er kann z. B. durch einen Parabolspiegelleicht in ein Bündel konzentriert werden, das nurum 2° divergiert, also einen Raumwinkel von 0,001 steradaufspannt. Die Lichtstärke im Bündel ist dann über 10 4 cd.