Lösungen zu den Aufgaben - Springer

..Kapitel15: Lösungen 1 1 1179IIIIScheibe aus gesehen, von Z weg. H sagt: Das scheint nur so,weil sich die Scheibe darunter wegdreht S sagt: DasSchwerefeld drückt auch das Licht nach draußen. Der Krümmungsradiusder Lichtstrahlen ist R ;:::; c I w, denn in der Zeitdt, in der das Licht ds = c dt zurücklegt, dreht sich dieScheibe (oder die Lichtrichtung relativ zur Scheibe) umda = w dt = w ds / c, und ds /da ist der Krümmungsradius.-Der Umfang des Kreises mit dem Radius r, der nach Ausweisder auf ihm eingetragenen Meterstriche die Länge 21rrhat, ist von Z aus gesehen nur 21rr( 1 - w 2 r 2 I c 2 ) lang. Von Zaus erscheint die Scheibe gewölbt, und zwar wieder mit demKrümmungsradius R ;:::; c I w. Auf einer Kugel mit demRadius R hat ein Kreis mit dem längs der Oberfläche gemessenenRadius r nur den Umfang 27rRsin(riR) ;:::;27rr(1- r 2 1(6R 2 )). Größere Abstände als R dürften für Sauf der Scheibe nicht existieren. Dem Abstand R entsprichtein Potential rp ;:::; w 2 k 2 ;:::; c 2 • In der üblichen Ausdrucksweise( rp = GM IR) ist dies die Schließungsbedingung desSchwarzen Loches.15.4.4. LichtablenkungIm Beschleunigungs- oder homogenen Schwerefeld muß nunten größer sein; wegen k = dnl(ndy) folgt n =1 - gy I c 2 = 1 - rp / c 2 . Auf der Drehscheibe muß n außengrößer sein, denn das Licht krümmt sich nach außen weg(oder die Scheibe dreht sich unter ihm weg). Es folgtn = 1 + w 2 ? lc 2 = 1- rplc 2 . Im Schwerefeld der Kugelmasseist n innen größer, denn das Licht krümmt sich aufdie Masse zu. Aus dnl(ndr) = 2glc 2 = 2GMI(r 2 c 2 ) folgtangenähert n ;:::; 1 - 2rp I c 2 . Ein solches Feld konzentriertLicht- oder Gravitationswellen, ohne sie allerdings auf einenPunkt zu fokussieren, wie jede Zeichnung der Bahnen(;:::;Hyperbeln) für verschiedene "Stoßparameter" zeigt.15.4.5. Die fernsten Objekte?Das Gravitationspotential müßte nahezu c 2 sein. BeiM::::; 10M 8 folgt R::::; 30km. Der Stern wäre also fast10 9 mal, d. h. 22 Größenklassen weniger hell als dieSonne. Er müßte uns wesentlich näher sein als a Centauri.Verzehnfachen der Masse verzehnfacht auch Radius und geschätztenAbstand. Die Quasars würden dann aber immernoch eine größere mittlere Dichte der Galaxis liefern alsdie bekannten Sterne, deren Dichte gerade mit der beobachtetenRotation der Galaxis zusammenpaßt15.4.6. Laplaces Schwarzes LochMit Huygens' Wellenvorstellung wußte man nicht viel anzufangen,bis Young und Fresnel sie um 1810 wiederbelebten.Ausgehend von Newtons Bild der mit c fliegenden Lichtteilchenwar es für Laplace ganz natürlich, die von Newton selbsteingeleiteten Überlegungen über das Entweichen aus demSchwerefeld von Himmelskörpern bis zu einer Fluchtgeschwindigkeitc zu extrapolieren. Es folgt zwangsläufigdie Bedingung ~ c 2 = GM IR = 17rGQR 2 , also für Q =5 glcm 3 : R = 1,8 · 10 8 km::::; 250 Sonnenradien. WelchenEinfluß die Gravitation auf die Ausbreitung einer Welle habensollte, wäre mangels genauerer Kenntnis über diesenWellenvorgang nicht zu entscheiden gewesen. BeiQ::::; 1015 glcm 3 (Kerndichte) folgt R;:::; 10km, also etwasmehr als Sonnenmasse. Ein Schwarzes Loch mitR::::; 10-13 cm hätte M::::; 1012 kg, Q::::; 1030 gjcm 3 ·(Aufgabe15.4.10). Bei R;:::; 10 10 Lichtjahre ;:::; 10 26 m müßteM::::; 1053 kg, Q;:::; 10-30 glcm 3 sein (Einstein-Weltall).Dies kommt der direkt beobachteten mittleren Dichte imWeltall ziemlich nahe.15.4.7. Olbers-ParadoxonWenn das Weltall unendlich groß und im Mittel in konstanterDichte mit Sternen besetzt wäre, müßte jeder von uns gezogeneSehstrahl schließlich auf eine Lichtscheibe treffen. DieFlächenhelligkeit eines Strahlers hängt aber nicht vom Abstandab (scheinbare Fläche ~ a-2 ~ Gesamthelligkeit).Wenn alle Sterne im Mittel sonnenähnlich sind, müßtealso der Himmel bei Tag und Nacht die Flächenhelligkeitder Sonnenscheibe haben. Dieser ganze "Hohlraum" einschließlichder Erde müßte etwa 6 000 K haben. Eine andereÜberlefung führt zum gleichen Ergebnis: Die Sonne nimmt::::; w- der Gesamthimmelsfläche ein (1r(O,S0t l(47r) ::::;2 · w-5 ). Im Olbers-Modell erhielte die Erde 10 mal sovielStrahlung, hätte also nach Stefan-Boltzmann etwa 5 000 K.Hierbei ist berücksichtigt, daß sich die Sterne teilweise überdecken.Sie strahlen aber trotzdem. Wir betrachten eine sehrgroße Kugelschale zwischen r und r + dr (auch dr groß gegenden mittleren Sternabstand). Eine solche Kugelschaleenthält eine Sternanzahl proportional r 2 . Ihr Beitrag zur Gesamtstrahlungoder zur Gravitation am Ort der Erde ist alsounabhängig von r. Da es unendlich viele Schalen gibt, sindStrahlungsdichte, Temperatur, Gravitationspotential unendlich.Ausweg: Die Materie. ist auf ein enges Teilgebiet beschränkt;die Materiedichte nimmt mit wachsender Entfernungvon uns immer mehr ab. Beides widerspricht der Beobachtungund ist philosophisch unbefriedigend (Inhomogenität,Anthropozentrismus). Die Materie hat begrenztes Alter,speziell die strahlende; aus sehr entfernten Bereichen gehtuns keine Strahlung zu, weil dort zu der Zeit, als das Lichthätte aufbrechen müssen, noch keine Materie oder wenigstensnoch keine Sterne existierten (gleiche Einwände wieoben). Andere Auswege vgl. Aufgaben 15.4.8 und 15.4.9.15.4.8. Olbers-Lösung?Nein. Streut man kalte absorbierende Materie zwischen dieSterne, dann reduziert sie zunächst den Bereich, aus dem wirStrahlung erhalten, auf r;:::; 1 /K (K: Absorptionskoeffizientder interstellaren Materie). Sehr bald aber setzt sich dieseMaterie ins Strahlungsgleichgewicht mit den Sternen undstrahlt uns, wenn auch indirekt, ebensoviel zu wie diese.15.4.9. Charlier-ModellMn, rn, !?n seien Masse, Radius und Dichte des Systems n.Ordnung, Rn der Abstand zwischen zwei nächstbemichbartenSystemen dieser Art. Dann ist offenbar !?n =3Mnl~47rr~), aber auch !?n = Mn-I/R~_ 1 , also !?n+1 =Mn/Rn. Das Olbers-Paradoxon verschwindet, wenn die mittlereDichte gegen Null geht, sofern die Systemordnung n