Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 6: Lösungen 1079Kontinuitätsgleichung (} = - divj; also (} = - divj =-O"divE = -(!O"I(~~o); jede Ladungsanhäufung klingtalso, wenn sie nicht ständig erneuert wird, ab wie(! = (!o e-t/r mit r = ~~ol a. Im Sonderfall, wo der Kreisdurch einen Kondensator unterbrochen ist, gilt im Zwischenraumnatürlich I = 0. Es gibt ein Paar von Stellen, wo sichpositive bzw. negative Ladung anhäuft. Die resultierendeSpannung U = Ql C ist der aufgeprägten Spannung entgegengerichtetund muß den Gleichstrom schließlich zum Erliegenbringen: Q =I= CU= CRi, also I = Io e-t/r mitr = RC. Das entspricht dem mikroskopischen r = ~~oiO".Ganz allgemein regelt sich die Feldverteilung auf konstantenStrom ein: An Stellen mit großem Leitwert ist dasFeld klein und umgekehrt.6.3.4. RCHat der Kondensator die Ladung Q, die Spannung U, undwird er durch einen Draht vom Widerstand R überbrückt,dann fließt Stro~ I = U IR = Ql (RC). Dieser Strom vernichtetLadung: Q =-I= -QI(RC). Diese Gleichung fürQ hat die Lösung Q = Q 0 e -t/r mit r = RC: Ladung, Spannungund Strom klinge.n exponentiell ab. Wenn der Draht zudünn ist, explodiert er in eindrucksvoller Weise. Ist es derGlühdraht einer Lampe, so ergibt sich ein Lichtblitz vonder Dauer RC, meist aber ebenfalls eine Explosion. JederSchalter hat eine Kapazität, die sich nach dem Öffnen auflädt,bis ihre Spannung U = Ql C die Netzspannung kompensiert.Erst dann hört der Strom auf. Dies Nachklappendes Stroms dauert ebenfalls die Zeit RC. Meist ergibt allerdingsdie Selbstinduktion L des Kreises ein längeres Nachklappen( r =LI R), denn die Kapazität eines guten Schaltersist klein ( ~ 0,1 pF, also mit R = 100, d. h.P = u 2 IR= 0,5kW: r ~ w- 8 s).6.3.5. VielfachmesserMan mißt direkt immer Ströme. S1 regelt den VorwiderstandR1, S2 den Parallelwiderstand Rz. Um Ströme über 10 11A zumessen, "shunte" man mittels Rz (Zehnerstufen bis 1 A, S1ganz unten). Messung der Spannung einer Quelle (Batterie,Netzgerät o. ä.) mit dem Innenwiderstand R oder desSpannungsabfalls an einem Abschnitt mit dem WiderstandR setzt R 1 » R voraus. Man hat Meßbereiche zwischen10mV und 1 kV. Der lOmV-Bereich ist identisch mit dem10 !!A-Bereich. Widerstandsmessung: S3 schaltet die Batterieein (gewöhnlich 1,5 V). Die Klemmen werden durchden zu messenden Widerstand R verbunden (ohne äußereSpannung!). Die Anzeige ist umgekehrt proportional demzu messenden R. Meßbereich bis 10 MO. Bei Strom- wiebei Spannungsmessung verhalten sich die Leistungen umgekehrtwie die Widerstände (R1 und Rzliegen parallel). Ob derInnenwiderstand richtig ist, erkennt man am einfachsten, indemman bei Spannungsmessung den Vorwiderstand verzehnfacht,bei Strommessung .den Shunt zehntelt, in jedemFall also auf den nächstunempfindlicheren Bereich schaltetund kontrolliert, ob der Ausschlag sich genau zehntelt,d. h. ob auf der veränderten Skala der gleiche Wert angezeigtwird. Das Amperemeter muß nach dem Weicheisen-, nichtnach dem Drehspulprinzip arbeiten oder einen Gleichrichterenthalten.6.3.6. KochplatteBei R1 = R 2 drei Stufen: Beide Widerstände hintereinander:nur R1 in Betrieb; beide parallel: Leistungen 1 : 2: 4. R1 istam häufigsten in Betrieb, nämlich in Stufe 2 alleine. In denanderen Stufen sind Strom und Leistung in beiden Widerständengleich. R1 wird zuerst ausfallen. Dies geschiehtwahrscheinlich dann, wenn seine Strombelastung am größtenist, also in Stufe 1 oder 2. Ich würde auf 1 tippen,denn da wird Rt noch teilweise durch die von Rz ausgehendeWärme mitbeheizt - Mit zwei Widerständen kann mannatürlich auch vier Schaltstufen bauen, falls die Widerständeverschiedene Werte haben, z. B. R1 > Rz. Wegen P =U 2 1R ist der Faktor (R!+Rz)IRJ=RJ/Rz=Rz·(R1 + R 2 )1(R 1R 2 ). Die zweite Gleichung ist offenbar überflüssig,die erste läßt sich so lesen: Der GesamtwiderstandR1 + R2 muß so in einen größeren (R1) und einen kleineren(R2) aufgeteilt werden, daß der größere zum kleineren sichverhält wie das Ganze zum größeren. Das ist die Bedingungder Teilung nach dem Goldenen Schnitt. Mit R2L R1 = x wird1 +x = x-1, alsox 2 - x = 1, d.h.,x = (1 ± VS)I2 = 0,618(bzw. -1,618). Die Leistungen verhalten sich wte1: 1,618:2,618:4,236. Manche kleinen Kochplatten sindso gebaut.6.3.7. BügeleisenBei 220 V muß durch eine 300 W-Heizwicklung ein StromI = 1,36 A fließen. Die Wicklung muß also den WiderstandR = 161 Q haben, realisiert durch ein Band vonA = 5 · 1 o-8 m2 Querschnitt und l = 20m. An 110 V angeschlossen,erhält das Bügeleisen nur den halben Strom, dennder Widerstand ist ja derselbe. Halber Strom und halbe Spannungergeben nur t der Nennleistung, also nur 75 W. DasEisen wird nicht heiß. Warum legt man es überhaupt auf300W? Die Bügelfläche (Sohle des Bügeleisens) ist etwa20 cm lang und 12 cm breit, hat also etwa 0,02 m 2 Fläche.Die Abstrahlung erfolgt nicht nur nach unten, also mußdie Fläche etwa verdoppelt werden: A' ~ 0,04 m 2 . Einesolche Fläche strahlt nach Stefan-Boltzmann die LeistungP = A' O"T4 = 300 W ab, wenn ihre TemperaturT = \1 PI (A' O") ~ 600 K ~ 330 °C ist. Solche Hitze verlangtman, wenn man z. B. feuchtes Leinen bügelt. Mit75W erreicht man nur um den Faktor \1174 = 0,7mal weniger.absoluteTemperatur, also 420 K ~ 150 °C. Damit dasBügeleisen auch bei der halben Spannung die Nennleistungerzielt, müßte doppelt soviel Strom fließen wie üblich. HalbeSpannung und doppelter Strom bedeutet! des Widerstandes.U ruschaltbare Heizgeräte benutzen bei 110 V also einfach tder Heizwicklungs länge. Da durch das auf 110 V umgeschalteteoder umgebaute Bügeleisen der doppelte Strom fließtund die vierfache Leistung pro Meter Wicklungslänge erzeugtwird, ist die Gefahr des Durchbrennens größer alsbei 220V-Betrieb. Die Kupferwicklung mit ihrem 24mal geringerenspezifischen Widerstand müßte 24mallänger oderdünner sein, was beides unbequem zu realisieren ist. Vor