Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitell: Lösungen 1027weg. Dann lautet die Bewegungsgleichung ev =-gradp + 2ev x w. Großräumige und langdauernde Strömungensind stationär, d. h. alle Beschleunigungen sindauf 0 abgeklungen. Dann folgt 2ev x w = gradp. Welchestationäre Strömung stellt sich bei gegebenem gradp ein?v steht nach Definition des Vektorproduktes auf v x w,also auch auf grad p senkrecht, d. h. erstaunlicherweisekreist die Luft um die Hochs und Tiefs, ohne einen Druckausgleichzu vermitteln. Jetzt führen wir die Reibung ein. DieBewegungsgleichung wird ev = -gradp + 2ev x w- kv,bei Stationarität 2ev x w- kv = gradp. Überwöge das Reibungsglied,so wäre v = -k- 1 gradp: Die Luft strömte direktvom Hoch ins Tief. Der Kompromiß zwischen Coriolis-Kraftund Reibung besteht darin, daß der Wind schräg aus demHoch heraus und ins Tief hineinströmt. Das Tief liegez. B. westlich vom Hoch: grad p zeigt nach Osten, die Luftströmt etwa nach NW, die Coriolis-Kraft zeigt nach NOund addiert sich mit der Reibung, die nach SO zeigt, zumOst-Vektor gradp. Der Winkel zwischen v und -gradphängt vom Verhältnis zwischen Coriolis-Kraft und Reibungab. In den Tropen ist die Horizontalkomponente der Coriolis­Kraft am kleinsten, der Winkel am spitzesten: TropischeTiefs gleicher Stärke füllen sich schneller auf. Der Koeffizientk läßt sich so abschätzen: In einer bodennahen Schicht derDicke d ~ 1 m nimmt v von v 0 (Höhenwind) auf 0 ab, undzwar ungefähr parabolisch: v ~ voh 2 I d 2 . Der Geschwindigkeitsgradientist dvldh ~ 2vohld2. Ein Luftwürfel derKante a erfährt an seiner oberen Fläche die Krafta 2 f/2Vohld 2 , unten a 2 f/2vo(h- a)ld 2 , im ganzen also dieBremsung a 3 2Y!vod- 2 . Die Kraft auf die Volumeneinheitist 2f/Vo I d 2 , also k = 2ry I d 2 . Luft hat Y/ = 1 '7 . w- 5 Pas,also k ~ w-5 Ns/m4 , d. h. etwas kleiner als 2ew. DerWind geht also etwa unter 45° zu -gradp. Seine Geschwindigkei~i~t bis auf Richtungscosinus v ~ grad p I (few).Im Beispiel: gradp ~ 40mbarl3 OOOkm ~ 10- 3 Nlm, alsoV~ 7 krnfh.1.8.8. Wer irrte hier?Die Coriolis-Beschleunigung für einen Satelliten, dermit 8 km/s in der Äquatorebene kreist, ist 2vw =1,6-104 ms-1 -7,2·10-5 s-1 = 1,2mls 2 , also nur 0,12g.Tatsächlich ist es die Zentrifugalkraft, die den Satellitenträgt. Die Coriolis-Kraft tritt überhaupt nur auf, wenn mandie Bewegung im Bezugssystem des Erdbodens beschreibt.Dann ändert sich die im Inertialsystem nötige Kreisbahngeschwindigkeitvon vo = y'gR auf VJ,2 = vo ± wR, jenachdem, ob der Satellit ost-westlich oder west-östlich kreist.Die im Erdsystem berechnete Zentrifugalbeschleunigungwäre daher im ersten Fall größer, im zweiten kleiner als g.Für den Unterschied kommt genau die Coriolis-Beschleunigungauf: vi, 2 1R ~ g ± 2wv0 .1.8.9. RaumstationDamit die ganze Besatzung in den Genuß der heimatlichenBeschleunigung g kommt, müssen die Mannschaftsräume alsRing z. B. vom Radius R angelegt werden, der mit der Kreisfrequenzw rotiert, so daß w 2 R = g (z. B. bei R =30m:w = 0,55 s- 1 , T = 11,5 s). Dann ist an Bord alles normal,solange man sich nicht bewegt. Rennt jemand aber z. B.mit v = lOm/s den Ringkorridor entlang, dann schiebt ihndie Coriolis-Kraft mit 2wv, was im Beispiel fast gleich gist, nach oben bzw. unten, je nachdem ob er gegen die Rotationder Station oder mit ihr läuft. Er fühlt sich also entwederdoppelt so schwer oder "geht in die Luft". Die Füße, die sichsogar etwa doppelt so schnell bewegen wie der Mann, werdenbleischwer oder ebenso unangenehm leicht. Für den Beobachteraußerhalb der Station ist dieses Verhalten nicht erstaunlich:Der Mann, der gegen den Drehsinn läuft, stehtja eigentlich fast still, für ihn ist also die Zentrifugalkraftaufgehoben; der andere hat seine Umlaufgeschwindigkeitfast verdoppelt.1.8.10. Berg- und WiesenuferSelbst ein reißender Fluß strömt im Mittel höchstens mitv = 2 m/s, für Flachlandflüsse ist 1 rn/s schon sehr viel.Die Coriolis-Beschleunigung ist dann 2vw < w- 4 mls 2 ~w-5g. Das Wasser eines 1 km breiten Stroms auf der nördlichenHalbkugel kann also tatsächlich am rechten Ufer bis zu1 cm höher stehen als am linken. Sind Bodenwellen vorhanden,so wäre es denkbar, daß sich der Fluß nach rechts an sieheranarbeitet. Bei v = 30rn/s (Eisenbahn) ist 2vw =5 · w- 4 g. Die geringste Abweichung der Gleisverlegungvon der Horizontalen (um 0,1 mm) oder die leiseste Kurve(Kurvenradius ~ 200 km!) hätte einen stärkeren Effekt aufdie Asymmetrie der Abnutzung.1.8.11. Foucault-PendelHängt· das Pendel am Pol, dann kann man einfach sagen:Seine Schwingungsebene bleibt raumfest, die Erde drehtsich mit WE darunter weg, also dreht sich die Schwingungsebenerelativ zum Erdboden mit der Winkelgeschwindigkeitw = -WE- In der Breite rp ± 90° ist es schwieriger, denn diePendelebene kann nicht raumfest bleiben, weil sich die g­Richtung, vom raumfesten System aus gesehen, ständig ändert.Wir überlegen so (Abb. 1.62): Auf der kleinen StreckeLls, d. h. in der Zeit Llt = Llslv, sammelt sich die Quergeschwindigkeitv 1. = a1. Llt = 2vwE sin rp 11slv an. Im Mittelgilt auf der Strecke Lls die Hälfte davon:v 1. = WE sin rp Lls. Sie ergibt in der Zeit Llt die AblenkungLls' = v 1. Llt = WE sin rplls Llt, also den AblenkwinkelLl()( = Lls' I Lls = WE sin rp · Llt, d. h. die Drehgeschwindigkeitder Pendelebene von Ll()(l Llt = WE sin rp. In München(rp = 48°) dauert eine volle Drehung 11 sinrp = 1,35 Tage.1.8.12. Schuß auf der ScheibeIn der Zeit t = r jv erreicht die Kugel den Baum B, falls er aufdemselben Kreis mit dem Radius r = vt um M liegt wie A,aber um den Winkel wt unter der Horizontalen. B liegt beix = vtcoswt, y = vtsinwt. Die gekrümmte Bahn MB istlänger als die Gerade MA, also ist die Kugel für den Scheibenmannschneller geflogen als für den ruhenden, nämlichmit v' mit den Komponenten .X = v cos wt - vtw sin wt,y = v sin wt + vtw cos wt, v' 2 = v 2 + v 2 w 2 t 2 = v 2 + w 2 ?.Der mit der Zeit anwachsende Energiezuwachs