Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel14: Lösungen 1169( c) Ein Teilchen mit dem Impuls f und der Energie W hatdie Wellenfunktion t/J = t/Jo e 1 (kr-wt , wo p = Jik, W = Tiw.In einem Ring muß die Phase auf dem gleichen Wert ankammen,wenn man emma . 1 1m . Kr e1s . h erumge h t: ei:rJ: kdr= 1 ,d. h. § k · dr = n27r. Wegen k = mv /Ti heißt das § mv · dr= nh und wegen mv = eA auch § eA · dr = nh. Nach demSatz von Stokese f A · dr = e J j rot A · df = e j JB · df = ef/J ,also f/J = nh/ e. Die Ladungsträger sind Cooper-Paare mit derLadung 2e, also richtiger f/J = nh/ (2e ). Das Flußquanth/(2e) ist winzig: 2 · 10- 15 Vs. Der schon 1934 von FritzLondon vorausgesagte Effekt wurde erst 1961 von Dollund Näbauer in München und von Deaver und Fairbankin den USA gefunden.14.7 .3. MagnetaufltängungEine völlig reibungsfreie Bahn würde beim Anrollen vonh = 350m auf v = 84 rn/s kommen, also die 260 km Berlin-Hamburgin 52 Minuten zurücklegen. Dabei ist nichtnur reibungsfreie, offenbar magnetische Aufhängung, sondernauch fehlender Luftwiderstand, z. B. im Vakuum-Tunnelvorauszusetzen. Wenn man den angegebenen Fahrplanernst nimmt, bedeutet das 10% Zeitverlust, also Verlust anmittlerer Geschwindigkeit, 20 % an Endgeschwindigkeit,40% an kinetischer Energie. Beschleunigung an den Endstationen(z. B. elektromagnetisch) ist unumgänglich. Für eine100 t-Bahn mit 10m 2 effektivem hydrodynamischen QuerschnittA entspricht dieser Verlust einer BremsleistungP = 4 · 10 4 W, einer Bremskraft F = 500N. Die Wälzlagerreibungwäre bestenfalls 1/100 des Gewichts, also 20mal zugroß. Der normale Luftwiderstand (1 bar) wäreF ::::::: ! agv 2 ::::::: 5 · 10 4 N, im Tunnel dürften also nur knapp10mbar herrschen. Magnetaufhängung eines schnellen Fahrzeugeskann nicht so realisiert werden, daß ein am Fahrzeugbefestigter Magnet an einer normalerweise unmagnetischenEisenschiene langgleitet, denn die B-Änderung in derSchiene würde starke Ströme induzieren, deren Energiedas Fahrzeug liefern müßte. Selbst bei lamelliertem oderfeinkörnigem Material wäre die Wirbelstrombremsung bestimmtviel größer als angegeben. Die Schiene müßte alsomagnetisiert sein. Damit erhält die Bahn nach dem Prinzipdes Unipolargenerators (Aufgabe 15.3.6) als Bonus nocheine kleine Spannung für ihre Beleuchtung. Die Technikermüssen herausfinden, ob magnetische oder Luftkissenlagerunggünstiger ist.14.7.4. Cooper-PaarWir setzen uns ins Bezugssystem des Elektronengases. DasKristallgitter fliegt mit v an uns vorbei. Um es ein wenig zubremsen (der kristallfeste Beobachter würde sagen: Um dieElektronen zu bremsen), sagen wir auf v', muß zum EnergieundImpulsausgleich ein Elektron in einen Zustand mit W,pgehoben werden, so daß Mv 2 -Mv' 2 = 2W, Mv- Mv' = p(M: Masse des Kristalls; wir setzen voraus, daß Pllv; dann istdie Bremsung am wirksamsten). Der Energiesatz läßt sichauch schreiben M(v + v')(v- v') = 2W oder p(v + v') =2W. Die Bremsung durch einen einzigen Stoß kann nur winzigsein, also v' ::::::: v, d. h. vp = W: Für eine "freie" EnergieparabelW = p 2 /(2m), die auf der p-Achse aufsitzt, wäre dasimmer zu erfüllen, für die um die W-Lücke ~ W angehobeneParabel nur oberhalb einer Geschwindigkeit Vcy/2 A W / m, die der Steigung der Tangente von 0 an die Parabelentspricht (zeichnen!). Vc entspricht natürlich !mv~ =~W. Mit AW = 3,5kTc und Tc= 10K folgt Vc::::::: 104 rnls.Die Suprastromdichte könnte also 10 10 A/cm 2 werden,ehe Bremsung durch das Gitter einsetzt. Praktisch erreichtman z. Z. etwa 10 7 A/cm 2 .14.7.5. Josephson-WechselstromIn einer Potentialschwelle von U - W = 3 e V klingt diet/J-Welle ab wie e-k'x mit k' = J2m(U- W)/~ = 1Ä- 1 .Die Durchlässigkeit der Schicht mit d = 10 A ist alsoD::::::: e-2k'd = 2. w-9 . Die Stromdichte j = envD ist vonder Größenordnung 0,1 Am-2. Bei 1 mV Spannung an derjunction ist die Energie der Cooper-Paare beiderseits um3,2 · w-22 J verstimmt. Der Strom oszilliert mitw = AW /Ii = 3,2 · 10 12 s- 1 oder v = 500 GHz. Ein B­Feld, das in der Ebene der junction liegt, bedeutet ein VektorpotentialA senkrecht dazu, aber ebenfalls in dieser Ebene,das sich senkrecht zur Ebene ändert, und zwar so, daß seinUnterschied zwischen den beiden Grenzflächen AA = Bd ist.Diese Differenz erzeugt eine räumliche Modulation der t/1-Funktion mit der Wellenlänge A = h/ (2e AA) = h/ (2eBd).Bei A = l, also B1 = h/(2eld), verschwindet der Josephson-Strom;er wechselt das Vorzeichen, wenn B durch diesenWert geht. Im Beispiel ist B1 = 3 · w-5 Tesla. Eigentlichmuß man überall mit der effektiven Masse von Elektronenbzw. Paaren rechnen, was die Zahlenwerte, besonders denexponentiellen Tunnelstrom, merklich ändern kann.14.7.6. EnergielückeBei T = To sind s- und n-Zustand und speziell ihre H-undS­Werte identisch, im Gegensatz zum Übergang im Magnetfeld,wo die Energielücke noch existiert, H und S verschiedensind und sich erst die Unterschiede in Hund TS kompensieren.Der Übergang im Magnetfeld ist thermodynamischidentisch mit dem Sieden: Sprung von H und S; AH = "latente"Übergangswärme; Überhitzung und Unterkühlungmöglich; Keimbildung der thermodynamisch stabilerenPhase nötig: Übergang 1. Ordnung. Anders beim Übergangs +--> n bei B = 0, d. h. T = Ta: Die Phasen gehen stetig ineinanderüber, keine Übergangswärme, keine Überhitzung oderUnterkühlung, keine Keimbildung: Übergang 2. Ordnung.Analog ist die Lage am kritischen Punkt, dem oberenEnde der Grenzkurve Flüssigkeit-Dampf. cp = 8H / 8T =oo beim Übergang 1. Ordnung, cp springt beim Übergang2. Ordnung. S verhält sich analog zu H, nur komplementär,denn G = H- TS ist am Übergang immer stetig.14.7.7. SprungpunktDie Fermi-Funktionf(W) kümmert sich nicht darum, ob Zuständemit diesem W vorhanden sind oder nicht. Da die Ener-