Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 6: Lösungen 1075keit dv1_ = dcos 2 rxdtl(27rsomd) = eJldrxl(27rs0mv). Aufder ganzen Bahn ( -1r12 < rx < 1rl2) ändert sich also v 1_um eJ..I(2aomv), unabhängig vom Abstand d. Einfacher siehtman die Abstandsunabhängigkeit so ein: Man zeichne eineElektronenbahn und vergrößere das Bild um den Faktor rx.Dabei verringert sich die Krümmung um den Faktor 1 I a.Die Krümmung ist aber proportional zur Coulomb-Kraft,und diese nimmt im Feld des Drahtes ebenfalls um den Faktor1 I a ab. Die vergrößerte Bahn ist also eine richtige Bahn,der Ablenkwinkel, der sich beim Vergrößern nicht ändert, istfür beide Bahnen derselbe. - In einem Bündel parallelfliegenderElektronen sind natürlich die Abstände d vom Drahtverschieden. Trotzdem schwenken wie beim Biprisma dieTeilbündel beiderseits des Drahtes um konstante Winkelum. Das Potential zwischen Draht und Rest der Apparaturhängt mit dem gewünschten Winkel über }, und Drahtradiusr und Abstand R Draht-Rest der Apparatur zusammen wieU = J..l(27rso) ·ln(Rir).6.1.10. PotentialtalEine stabile Gleichgewichtslage ist ein lokales Potentialminimum.Das Feld muß von allen Seiten auf diese Stelle hinzeigen(oder überall von ihr weg, falls man eine negativeLadung einfangen will), dies wohlgemerkt, ohne daß die einzufangendeLadung dort sitzt. Der Fluß durch eine Kugel, diediese Stelle umschließt, ist also bestimmt verschieden vonNull, was im leeren Raum nicht möglich ist. Dagegenkann das Potential stellenweise konstant sein oder einen Sattelpunkthaben (indifferentes oder labiles Gleichgewicht).Beispiele: Geladene Platte und Abb. 6.12 Mitte. Stabilliegteine positive Ladung nur in einer "Feldsingularität", wo einenegative Ladung ist. Eigentlich müßten also alle Ladungen inder Welt einander schließlich neutralisieren. In einem zeitabhängigenFeld gilt diese Beschränkung nicht allgemein. Endgültigzieht uns aber erst die Quantenmechanik aus dieserAffäre.6.1.11. Wie stark ist ein BlitzBei einer Wolkenhöhe von 1 km und einer Ausdehnung von100 km 2 erhält man die Kapazität C = s0A I d = 10-6 F. DieSpannung, bei der ein Überschlag über 1 km Luftzwischenraummöglich ist, liegt um U = 10 8 V. Eine solche Spannungerfordert eine Aufladung mit Q = CU ~ 10 2 C. VollständigeEntladung durch einen einzigen Blitz in 1 ms würde einenStrom von 10 5 A bedeuten, eine Leistung von 1013 W. InWirklichkeit mögen etwa 100 Blitze überschlagen. Jederhat dann 1 C, 1 OOOA, 10ll W, 30kWh, das ganze Gewitter3 ·10 3 kWh.6.1.12. GewittertheorieWenn ein Wolkenteil der Abmessung d die Ladungsdichte Qhat, müssen nach der Poisson-Gleichung div E = glso mindestensFelder von der Größenordnung E = dg IBo auftreten(selbst wenn an einer Seite der Wolke kein Feld herrschte,hätte es an der anderen die angegebene Größe). Um10 6 V /m zu erreichen (dies ist die Zündfeldstärke für eineEntladung, die, einmal eingeleitet, auch mit geringeremFeld weiterwächst), braucht man bei einer Ausdehnungd ~ 1 km eine Ladungsdichte Q ~ soEid ~ 10-8 Clm 3 .Trägt ein Tröpfchen eine Elementarladung e, dann erfordertdiese Ladungsdichte eine Tröpfchenzahldichte n = Q I e r:::;10ll m-3 . Bei 20 °C ist der Dampfdruck des Wassers23 mbar, d. h. 1 m 3 Luft enthält bei Sättigung etwa 10 g Wasser.Wenn man daraus 10 11 Tropfen machen will, muß jederw- 10 g oder den Radius 3 !liD haben. Ein Tröpfchen vomRadius r fällt nach Stokes so, daß 17rr 3 Qmg = 61rv17r oderv = ~r 2 gmgl11 ist. Ein Luftion (Beweglichkeit J1 ca. 2cm 2 /V s, vgl. Abschn. 8.3.1) müßte, damit es sich an der Rückseitedes vorbeifallenden Tröpfchens anlagern kann, mindestensdie gleiche Geschwindigkeit haben wie das Tröpfchen selbst.Das Ion erreicht im Feld des Tröpfchens (genauer: Im Dipolfelddes polarisierten Tröpfchens) eine Geschwindigkeitvron ~ J1E ~ Jle I ( 47reor 2 ). Der kritische Tröpfchemadius,bei dem vron gleich der Trö fehenfall eschwindigkeit ist, ergibtsich zu rkr ~ 4 9Y!eJ11 (87reo8Qm) ~ 5 !liD, also etwaebenso wie die oben geschätzte Tröpfchengröße. Solcheund größere Tropfen müssen sich also beim Fallen einsinnigaufladen und erzeugen so die Aufladung gegen die Erdeund höhere Wolkenteile, die u. U. zur Bildung von Erdbzw.Wolkenblitzen ausreicht.6.1.13. KondensatorMan rollt zwei Metallstreifen zusammen mit zwei isolierendenPlastikfolien zu einem Zylinder. Alle Folien seien 10 !liDdick. Für l11F braucht man dann gemäß C = soAI d eineFläche A = 1 m 2 . Ein Streifen von 3 cm Breite, L = 30mLänge ergibt einen Zylinderradius r = J2dLI7r = 1 cm(die Rolle hat n = ! r I d Wicklungen der Durchschnittslänge1rr, also der Gesamtlänge L = m = ! 1r? I d). Bei 220 Vmüßte die Isotierfolie ein Feld von 2 · 105 V/ern aushalten,was schwer zu erreichen ist. In der Praxis nimmt man daherFolien von etwa 100 !liD Dicke, womit sich A verzehnfacht.Man erhält so etwa eine Rolle von 12 cm Länge und 7 cmRadius. Allgemein gilt für das KondensatorvolumenV ~ 2Cd 2 I so. So kann man z. B. die verwendete Foliendickeabschätzen.6.1.14. Versuch von MillikauTröpfchen vom Radius r und der Dichte (! fallen nach Stokesso, daß 11rr 3 gg = 61r17Vr i~!· d.h. v = ~?ggiYI· Bei bekanntem17 der Luft und Q des Ols kann man so aus dem gemessenenv den Radius r ermitteln, selbst wenn die Tröpfchen sofein sind, daß sie sich im Mikroskop nur als Streuzentrenbemerkbar machen (Dunkelfeldbeleuchtung). Nun schaltetman ein Feld ein, das die Tröpfchen (oder einige davon)genau in der Schwebe hält. Diese Tröpfchen müssen dieLadung q haben, so daß qE = 11rr3gg ist. Hat man rausdem feldfreien Fall bestimmt, dann stehen rechts nur gemesseneGrößen. Manchmal beginnt ein Tröpfchen, das gutschwebte, plötzlich nach oben oder unten wegzuschwimmen.Es hat offenbar ein weiteres positives oder negativesIon angelagert. Seine Geschwindigkeit v' wird dann nurdurch diese eine Zusatzladung !'lq bestimmt. In dem Zahlenbeispielv = 4!lrnls, E = 4,5 V /cm, tl = 1 ,2!lrnls findetman r = 0 l811m F = 2 .w- 16 N q = 5·10- 19 c !'lq =1,5·10-19 c. · · ·