Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1036 : Lösungen zu den Aufgaben10 J.lm Durchmesser ab. Ein Stahlröhrchen mit R = 20 J.Lm,das mit v = 500Hz und A = 2 mm Amplitude schwingt,hat an der Spitze a = Aw 2 R::: 1 800g, erzeugt also Tröpfchenum 100 ~tm. Fast alle anderen Flüssigkeiten haben ein kleineresCI I g, also kleinere Tropfen (Tabelle 3.1).3.2.2. BallonraketeDie Hülle des Luftballons habe die Masse m, etwa 2 g. Erfahrungsgemäßdauert es etwa 5 s, bis die 51 Luft ganz herausgepfiffensind. Die Ausströmrate ist also etwa f1 = 1 g/s,die Ausströmgeschwindigkeit bei A R::: 0,6 cm 2 Öffnungw R::: V l(tA) R::: 16m/s, also der Schub F = f1W R::: 0,02N.Dieser Schub beschleunigt den Ballon, der im Durchschnittsamt Füllung die Masse 5 g hat, mit etwa 20 m/s 2 . Bliebe dieBeschleunigungsrichtung erhalten, so führte diese mittlereBeschleunigung nach einigen Zehntelsekunden zu einer stationärenGeschwindigkeit, die gemäß ! Agv2 = F einige m/sbeträgt. Die momentanen Werte können viel höher werden:Die Gummihaut verhält sich annähernd wie eine Seifenhaut,d. h. der Überdruck innen ist proportional zu r- 1• Das erklärt,warum man zum Aufblasen zuerst viel mehr Druck braucht.Nach Torricelli ist die Ausströmungsgeschwindigkeitw = ..j2Aplg ~ r- 1 1 2 und damit der Schub F = Wfl =wgAw = v'2AAp ~ r-1. Der Luftwiderstand ist~ r 2 , alsodie stationäre Geschwindigkeit v ~ F lr2 ~ r-3 . Je leererder Ballon ist, desto wilder schießt er hin und her.3.2.3. TropfenbildungEbenso wie die Seifenhaut von Aufgabe 3.2.10 hat ein zylindrischerWasserstrahl die Tendenz, sich einzuschnüren.Wenn er länger ist als ~ seines Durchmessers, wird seineForm instabil, und er zerfällt bei der leisesten Störung in Abschnitte,die sich zu Tropfen abrunden. Man erkennt das ameinfachsten daran, daß der Strahl irrfolge Reflexion nach allenSeiten zu glitzern anfängt. Die Störungen, die das Zerbrechenin Tropfen auslösen, kann man durch das unmerklicheWackeln der Ausflußdüse erzeugen, die von einem Schallgeberberührt wird. Die Tropfenfolge gibt dann die Schallschwingungenwieder und verstärkt sie erheblich, wennman den Strahl auf eine Membran trommeln läßt. Ein elektrischesFeld, schon z. B. eine geriebene Glasstange, influenziertdie Tröpfchen so, daß ihre ungleichnamig geladenenOberflächen einander anziehen: Sie vereinigen sich, derStrahl bleibt länger glatt.3.2.4. WasserkurveIn einem Spalt der Breite b zwischen zwei benetzbarenPlatten bildet das Wasser eine zylindrische Oberfläche mitdem Krümmungsradius r = bl2 und steht um h =2CJ I ( bgg) höher als normalerweise ( Kapillarsog -Ap =CJir nach oben!). Bei der gewählten Anordnung nimmt dieSpaltbreite z. B. nach rechts linear von 0 auf B zu:b = Bxld. Daher bildet die Wasserfläche zwischen denPlatten eine Hyperbel h = 2CJdl(agBx).3.2.5. SaftsteigenEine Steighöhe von 150m ist im Prinzip erreichbar. Manbraucht einen Kapillardurchmesser von etwa 0,1 J.lm. Selbstsehr viele solche Röhren können aber nicht im eigentlichenSinn Flüssigkeit fördern. Zum Absaugen brauchte man, umden Kapillarsog zu überwinden, den gleichen Unterdruck von15 bar, als ob man gleich direkt um 150m hochsaugen wollte.Natürlich gibt es einen solchen Unterdruck gegen den Luftdrucknicht: Man kann höchstens um 10m hochs·augen. Andersist das, wenn das "Absaugen" durch Verdunstung erfolgt.Der Baum muß also durch Ventilation dafür sorgen,daß auch das Blattinnere, wo die Kapillaren enden, eine geringereals die Sättigungsfeuchte hat.3.2.6. BlasendruckDamit die Seifenblase im Kräftegleichgewicht ist, muß innenein Überdruck Ap herrschen, der folgender Bedingunggenügt: Vergrößert man den Blasenradius um or, d. h. dasVolumen um 4Kr2 or, dann leistet der Druck die Arbeit41fr 2 or Ap. Gleichzeitig muß man zur Vergrößerung derOberfläche um 4K(r + or )2 - 4Kr2 = 81rr or die Arbeit81rr or CI aufbringen. Beide Arbeiten müssen gleich sein:Ap = 2CJir.3.2.7. TauziehenAn der Grenzfläche zwischen Wasser und Alkohol sucht jededer Flüssigkeiten ihre eigene Oberfläche zu minimieren,indem sie sich zurückzieht. Das Wasser hat die größere Oberflächenspannungund gewinnt bei diesem Tauziehen. DerAlkohol geht mit, denn seine Grenzflächenenergie gegenWasser ist kleiner als gegen Luft. Die Mischbarkeit vonWasser und Alkohol zieht die scharfe Grenzfläche zu einerkontinuierlichen Übergangszone auseinander, ändert abernichts Wesentliches.3.2.8. FleckentfernerFetthaltiges Benzin hat eine höhere Oberflächenspannung alssauberes und zieht dieses daher nach außen, wobei es nachdem Verdampfen den Schmutz als Rand ablagert. Man ziehemit dem sauberen Benzin einen Ring um das schmutzige.Dieses zieht sich auf die Mitte zurück und kann dort mitsamtdem Schmutz mit einem Lappen abgesaugt werden.3.2.9. MolekularkräfteEine Kraft, die auf einer Strecke d von wenigen A eine EnergieW von der Größenordnung 0, l J/m 2 hervorbringt, mußetwa F = W ld R::: 10 9 Nlm 2 sein. Das entspricht der Zerreißfestigkeitvon QualitätsstahL3.2.10. CatenoidWenn die Ringe offen sind, herrscht innen und außen dergleiche Druck. Unter diesen Umständen muß das mittlereKrümmungsmaß 11r1 + Ilr2 der Seifenhaut Null sein.Der Ringradius R zwingt der Haut in der einen Richtungeinen positiven (konvexen) Krümmungsradius auf. Alsomuß die Krümmung in der anderen Richtung negativ(konkav) sein, d. h. die Haut hängt nach innen durch undwird zur Sattelfläche. Eine ähnliche Fläche erhält man,wenn man die beiden Ringe durch viele zunächst senkrechteFäden verbindet und dann gegeneinander verdreht. Allerdingsentsteht so ein einschaliges Rotationshyperboloid,das nicht überall die Krümmung 0 hat. Legt man die Trom-