Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1080 Lösungen zu den Aufgabenallem hängt der Widerstand von Manganin viel weniger vonder Temperatur ab; er nimmt wie bei fast allen Metallen mitsteigender Temperatur zu (Verstärkung der thermischen Gitterschwingungenhindert die Elektronen beim Wanderndurch das Gitter). Wenn R zu stark zunähme, würde wegenP = U 2 IR die Leistung immer geringer werden, je heißer dasEisen würde. Um das zu vermeiden, könnte man eine Halbleiterheizungverwenden, deren Widerstand bei Hitze geringerist (freie Elektronen werden hier erst durch thermischeAnregung erzeugt, die Leitfähigkeit (J 1 = 1 I Q steigt wie(J 1 = (J~ e-w /(kT) nach Boltzmann an). Dann besteht die entgegengesetzteGefahr: Beim heißen Eisen wird R so klein,und P = U 2 IR so groß, daß die Wicklung durchbrennenkönnte.6.3.8. Ohm-Puzzle IWir denken den Würfel ins Koordinatenkreuz gestellt undbezeichnen die Ecken durch ihre Koordinaten oder durchBuchstaben: A = (000), B = (001), C = (010), D =(011),E = (100), F = (101), G = (110), H = (111). Jede Kantehat den Widerstand R. (a) Spannung zwischen A und H:!Ac =!AB = ÜE = IFH =IcH = lvH =I 13 (Symmetrie).lBD = IBF = lABI2 (Verzweigung in B). SpannungsabfallUAH = R(2IAB + hv) = ~Rl, also RAH= ~R. (b) Spannungzwischen A und G: Punkte C, E, D, Falle auf gleichemPotential (Mittelebene). U = R · 2/Ac = R(21AB + IBv),IBD = IABI2, also I= 2/Ac +ÜB= iiAc, d. h. RAG= iR.(c) Spannung zwischen A und B: Etwas mühsamer. Ambestenschreibt man Iee = 1 an die Zeichnung und findet ausKnoten- und Maschenregel IcH= 2, Icv = 4, hc = 5,!AB= 14, RAB = iJ.R. Tetraeder: Nur ein Fall benachbarterPunkte A, B. Die anderen liegen auf U /2, also Icv = 0.I= lAB + 2/Ac, U = RIAB = 2RlAc, RAB = Rj2. Oktaeder:Punkte können benachbart sein (l) oder gegenüberliegen(2). (2): Die übrigen vier Punkte haben gleiches Potential,also zerfällt die Schaltung in vier parallele Zweige mit je2R: RAF =_Rp. (1): Ähnlich wie beim Würfel, Fall c, findetman RAB - TI R.6.3.9. Ohm-Puzzle IIZwischen A und A' messe man den Widerstand R für einesehr lange Leiter. Aus der Tatsache, daß überhaupt etwasEndliches herauskommt, d. h. daß der Widerstand konvergiert,folgt, daß man oben ein weiteres Glied anlötenkann, ohne R zu ändern. Man hat dann ja aber ein Rz parallelzuR geschaltet und vor die Kombination noch ein R 1 gelegt.Das ergibt den Widerstand Rt + RR2/(R + R2). Da derwieder gleich R ist, folgt R2 - RtR = R1R2, also R =~ (R1 +V Ri +4RtR2)· Dieses R ist auch der Widerstand,mit dem man die kurze Leiter abschließen muß, damit siesich verhält wie eine lange. Bei R2 = 2R 1 wird R = 2R 1.An jeder Sprosse verzweigt sich der Strom durch denHolm im Verhältnis 1/Rz (Sprosse) zu 1/R (Rest der Leiter).Die entsprechenden Ströme und damit auch die Spannungennehmen also von Sprosse zu Sprosse um den FaktorR 2 j(R + R2 ) ab. Damit sich die Spannungjedesmal halbiert,nehme man Rz = 2RJ.6.3.10. Ohm-Puzzle 111Da in sehr großem Abstand von den betrachteten NachbarpunktenA und B die Spannungsunterschiede beliebig kleinwerden, ändert sich an den Spannungs- und Stromverhältnissennichts, wenn wir rings um das Gitter sehr weit draußeneinen widerstandslosen Draht löten. Wir klemmen unsereSpannungsquelle zunächst an diesen Draht und andererseitsan Punkt A und regeln die Spannung so, daß bei A 1 Amperein das Gitter hineinfließt. Von A gehen symmetrisch vierDrähte aus, also fließt von A direkt nach B genau ! Ampere.Jetzt polen wir die Spannung um und legen sie zwischenAußendraht und B. Wieder fließt !A von A direkt nach B.Wenn wir nun sämtliche Spannungen und Ströme, die in diesenbeiden Fällen bestanden haben, überlagern, kommt wiedereine vernünftige Situation heraus. In ihr fließt 1 A bei Ahinein, bei B heraus. Der Außendraht liegt auf mittlerem Potential.Von A direkt nach B fließt~ A. Da dort 1 Q liegt, ist dieSpannung zwischen A und B ~V. Diese zieht im ganzen 1 A,also ist der Widerstand des ganzen Gitters ~ Q. Beim Dreiecksgitterkreuzensichjeweils sechs Drähte, beim Sechseckgitterje drei. Der Gesamtwiderstand ergibt sich daher aus derentsprechenden Überlegung zu i Q bzw. ~ Q. Einen Fünfeckzaungibt es nicht, denn mit Fünfecken kann man die Ebenenicht lückenlos ausfüllen. Ganz analog läßt sich ein kubischesGitter behandeln: Wir umschließen es durch ein Blech .in sehr großer Entfernung und schicken bei A einen Stromvon 1 A hinein. Nach jeder Seite fließt ~ A weg. Überlagerungmit umgepolter Spannung, die bei B angelegt wird, lieferti A und ! V zwischen A und B, also i Q.6.4.1. ElektronenschleuderIn der rotierenden Scheibe stellt sich im Gleichgewicht einRadialfeld E ein, so daß Feldkraft und Zentrifugalkraft aufdie Leitungselektronen einander aufheben: eE = moir. Entsprechendesgilt für die Differenz der Potentiale zwischenScheibenrand und -mitte: U=!o}r 2 mje=~mv 2 1e. BeiV = 100 m/s erhält man u = 3 . 10-8 V. So kleine Spannungenwerden natürlich leicht z. B. durch Thermospannungenan den Schleifkontakten verfälscht, selbst bei sorgfältigerWahl identischer Materialien. Einige Hundertstel K genügen.6.4.2. Tolman-VersuchDie Spule sei aus einem Draht (Gesamtlänge L, QuerschnittA, Leitfähigkeit (J) gewickelt und habe vor der Bremsung dieUmfangsgeschwindigkeit v gehabt. Die Bremsung iJ erzeugtim Draht ein Feld E = iJmje. Die GesamtspannungU=EL=iJLm/e treibt den Strom l=U/R=mVA(Jje.Während der Bremsung auf v = 0 wird die LadungsmengeQ = J I dt = mVA(J / e transportiert. Sie wird ballistisch gemessenund sollte möglichst groß sein. Mit Kupfer (fast sozerreißfest wie Stahl, also mit fast v = 100 m/s drehbar,aber sechsmal besser leitend als Stahl) erreicht man beiA = 10cm 2 etwa Q = 10-3 C. Das läßt sich mit einem ballistischenGalvanometer leicht messen. Auf den Verlauf desBremsvorganges kommt es nicht an, solange er kurz gegendie Schwingungsdauer des Galvanometers ist.