Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitelt: Lösungen 1025selbst die Kontinentalschollen nicht "ungeschoren" geblieben.·1.7.21. Sind wir doch allein?Eine Sternbegegnung kann nur dann zum Herausreißen vonMaterial führen, wenn sie enger ist als die Roche-Grenze,d. h. wenn die Gezeitenkräfte größer werden als die Eigengravitation.Wenn beide Partner sonnenähnlich sind, liegtdie Roche-Grenze bei etwa drei Sternradien: d ~2 · 106 km (vgl. Aufgabe 1.7.16). Die kinetische Gastheoriezeigt, wie man die Häufigkeit so enger Begegnungen bestimmt:Der Stoßquerschnitt ist A = 1rd 2 ~ 1013 km2. DieSterne haben einen mittleren Abstand von etwa 7 Lichtjahren(gegen das Zentrum der Galaxis stehen sie viel dichterals bei uns). Die Sternzahldichte ist also n ~1I(7Lichtjahre) 3 ~ 5 ·10-42 km- 3 , also die mittlere freieWeglänge l = 1l(nA) ~ 2 · 1028 km. Bei einer Durchschnittsgeschwindigkeitvon 100 k:m/s passiert einem Sternso etwas alle 10 19 Jahre. Nur jeder 109 -te Stern dürfte danachPlaneten haben, d. h. das nächste Planetensystemwäre in über 10 000 Lichtjahren Entfernung zu erwarten.1.7.22. Schwere auf JupiterDie Schwerebeschleunigung auf einer Kugel vom Radius R(in Erdradien) und der Masse M (in Erdmassen) ista = gM I R 2 . Bei gleicher mittlerer Dichte ist also a ~ R.Für Merkur, Mars, Ceres, Jupiter, Sonne erhält man fol§endeSchwerebeschleunigungen: 3,6; 3,8; 0,36; 26; 400 m/s (dieMasse der Ceres ist hier aus dem Durchmesser geschätzt).Ein 100kg-Mensch "wöge" 36; 38; 3,6; 260; 4000kg. DieKreisbahn- bzw. Entweichgeschwindigkeiten ergeben sichaus den irdischen Werten durch Multiplikation mit dem Radienverhältnisund der Wurzel aus dem Dichteverhältnis.Kreisbahngeschwindigkeiten 3,2; 3,6; 0,38; 43; 530k:m/s.1.7.23. MondmasseBeim Mond ist es schwierig, wie bei jedem Körper, der selbstkeinen Satelliten hat. Die Höhe des Flutberges ergibt einegrößenordnungsmäßige Schätzung, nach der der Mondnoch immer z. B. einen Eisenkern haben könnte wie dieErde. Die 26 000 a-Präzessionsperiode der Erde liefert einenbesseren Wert (Aufgabe 2.4.6). Genaueres erfährt man erstaus sehr präzisen Pendelmessungen der Gezeitenkräfteoder heutzutage, noch vor den direkten Mondflügen, ausden Bahnstörungen künstlicher Erdsatelliten.1.7.24. 7.1.1610Wir benutzen nur die angegebenen Daten und das 3. KeplerscheGesetz, das allerdings erst neun Jahre nach der Entdekkungder Jupiter-Monde veröffentlicht wurde. Hätte Galilei esgekannt, so hätte er gefolgert, daß Jupiter 122/3 ~ 5,2Erdbahnradien von der Sonne entfernt ist, also von uns günstigstenfalls4,2 Erdbahnradien. Wie groß der Erdbahnradiusist, brauchte Galilei nicht zu wissen; Kopemikus hatte ihnetwa 20mal zu klein geschätzt. Ein Abstand, der aus dieserEntfernung wie 6 1 ~ 1,5 · 10-3 rad aussieht, beträgt r ~4,2 · 10-3 ~ 6 · 10-3 Erdbahnradien. Die Sonne läßt dieErde in einem Erdbahnradius Abstand in einem Jahr umlau-fen, Jupiter den Ganymed in 6 · w- 3 Erdbahnradien Abstandin 3,6d ~ 0,01 a. Also folgt nach dem vollständigen 3. Kepler-GesetzMsonne/MJupiter ~ 600 (in Wirklichkeit 1 000).1.7.25. Hohmann-BahnenAuf einer Kepler-Ellipse ist bis auf den eigentlichenStart- und Landevorgang, d. h. bis auf die Anpassung andie Bahngeschwindigkeit von Start- und Zielplanet sowiedie Überwindung von deren Schwerefeldern kein Antriebnötig. Wir planen einen Flug von einem Planeten mit demBahnradius r1 zu einem Planeten mit dem Bahnradius r2.Offensichtlich sind r1 und r2 der Minimal- bzw. Maximalabstandvon der Sonne auf dieser Bahnellipse (Perihel-bzw. Apheldistanz). Die große Halbachse der Bahnellipseist a =! (q + r2), die Exzentrizität e =! (r1 - r2),also die kleine Halbachse b = V a2 -e2 = yfrlr2. Bahnenergie,Drehimpuls und Umlaufzeit ergeben sich nach(1.95) bis (1.98) zu W = -2GMm/(rt + r2). L =mJ2GMrtr2/(rJ + r2), T = 21r(r1 + rd1 2 1.j8(jiJ. Wichtig,weil treibstoffverzehrend, sind die Unterschiede zwischender Raketengeschwindigkeit am Perihel bzw. Aphelund der Geschwindigkeit des Planeten, dessen Bahn dort tangiertwird. Perihel- und A helgeschwindigkeit sindv1,2 = Ll(mr1,2) = r2,1 GM r1 2h + r2)), der tangiertePlanet hat dort v~. 2 = GMirl,2· Für einen Flug zumMars mit weicher Landung braucht man im ganzen folgendeGeschwindigkeiten: Start von der Erde 11,2 k:m/s. Einschußin die Kepler-Bahn 3,0 k:m/s. Anpassung an die Marsgeschwindigkeit2,7 km/s, Landung 5,1 k:m/s. Beim Rückflugspart man die 11,2k:m/s, da die Erdatmosphäre zur aerodynamischenBremsung ausreicht. Man kann die Geschwindigkeitenaddieren, um den Treibstoffbedarf zu erhalten, derexponentiell mit v geht: 33 km/s, die Gesamtflugzeit ist 1,4Jahre.1.7.26. Rotation der GalaxisDie Masse der Sonne ist 2 · 10 30 kg, die der ganzen GalaxisM > 1041 kg. Diese Masse ist zwar nicht kugelförmig,sondern als ziemlich flache Scheibe angeordnet. Größenordnungsmäßigliefert aber der Fall der Kugel dasRichtige, zumal ein großer Teil der Masse im annäherndkugelförmigen Zentralteil sitzt. Die Bahngeschwindigkeitv der Sonne muß so sein, daß v 2 1 r = GM I r 2 , mitr = 3 · 104 Lichtjahren ~ 3 · 10 20 m, also v ~ 140 km/s.Ein voller Umlauf würde etwa 3 · 108 Jahre dauern. Etwain diesem Abstand folgen die großen GebirgsbildungsundEiszeitperioden aufeinander, z. B. die vatiskisehe unddie alpine Faltung oder die carbon-permischen und die quartärenEiszeiten. Herrschen an einer bestimmten Stelle derSonnenbahn besonders "revolutionäre" Verhältnisse? DieRotationsgeschwindigkeit der Spiralnebel läßt sich direktaus dem Doppler-Effekt bestimmen und liegt in der erwartetenGrößenordnung.1.7.27. Satelliten-ParadoxonDie Bremsung in der Hochatmosphäre ist so schwach, daßdie Bahn praktisch immer kreisförmig bleibt. Dann istWkin = -! Wpot· Die Reibung läßt die Gesamtenergie