Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1132 , Lösungen zu den Aufgabenweiße Zwerg entweder zum Neutronenstern zusammen oderexplodiert als Supernova oder beides (vgl. Aufgabe 11.3.3).Den heißen Grenzfall diskutiert Aufgabe 12.3.23.12.3.23. Der schwerste SternDer Strahlungsdruck ergibt sich aus der Stefan-Boltzmann-Energiedichtew zu PS= w/c;:;::; 40k 4 T 4 /(c 3 h 3 ).Man kommt zum gleichen Ergebnis, wenn man sagt: EinPhoton hat im Mittel die Enelifie kT und nimmt einenRaum A. 3 = (c/v) 3 = (hc/(kT)) ein (das entspricht derRayleigh-Debye-Abzählung der Schwingungsmodes im k­Raum, vgl. Abschn.14.2.1). ps;:;::; PT;:;::; kT/d 3 bedeutetkT ;:;::; hc / d. Im Strahlungsfeld steckt mehr Energie als inden Teilchen, wenn ps » PT ist. Da Photonen extremrelativistisch sind, kann nach Aufgabe 12.3.22 das Systemnicht stabil sein. Der Grenzfall ps = PT ;:;::; PG ergibtNmax;:;::; (hc/(Gm~)) 3 / 2 ;:;::; 5 · 10 58 (Mmax;:;::; 7 · 10 31 kg). DieSpanne zwischen größten und kleinsten Stemmassen istenger als für andere Zustandsgrößen Mmax/Mrrun ;:;::;(hc4m;om 1 1 2j(e 2 m~/ 2 )) 3 1 2 ;:;::; 100. Bis auf den Faktor2nm112 /m~/ steht in der Klammer die reziproke Feinstrukturkonstante137.12.4.1. RotationsspektrumDas Trägheitsmoment um die Kernverbindungslinie stammtallein von den Elektronen, denn der Kern ist zwar 2 000-5 OOOmal schwerer, aber 104-105mal weniger ausgedehnt,sein Trägheitsmoment mr2 ist daher viel kleiner als dasder Elektronen. Aus ähnlichen Gründen zählen auch fastnur die Außenelektronen. Es sind meistens acht (Schalenabschlußbei der Bindungsabsätti~ung). Man erhältJ ;:;::; ~ 8mr2 ;:;::; 3 · 10- 50 kg m 2 (r ;:;::; 1 A), also mindestens1 OOOmal weniger als um eine dazu senkrechte Achse. Derentsprechende Linienabstand ,1v ;:;::; h/ ( 4n 2 J) liegt mitetwa 10 15 Hz schon fast im Sichtbaren, der Termabstandliegt um 1 e V oder darüber. Selbst bei 3 000 K, wo die meistenMoleküle schon dissoziiert sind, wäre die Besetzung deszweiten Rotationszustandes e-h!J.vj(kT) nur größenordnungsmäßig1 %. Ein Beitrag zur spezifischen Warme (6. Freiheitsgrad)wäre also erst bei Temperaturen zu erwarten,wo es gar keine Moleküle mehr gibt.12.4.2. SchwingungsspektrumNormalerweise steigt das Potential steiler an, wenn man dieAtome aneinanderdrückt, als wenn man sie auseinanderzieht,wie auch in Abb. 12.28b angedeutet. Daher entspricht diemittlere Lage einem um so größeren Kemabstand, je höherangeregt die Kernschwingung ist. Das Trägheitsmoment derhöheren Schwingungsterme ist größer. Gleichzeitig liegendie Schwingungsterme nach oben hin immer dichter: Ineinem Parabelpotential (harmonischer Oszillator) wärensie äquidistant; weiteres Ausladen der Potentialkurve entsprichtengeren Termabständen. Ein höherer Elektronenzustandentspricht sehr häufig auch einer lockeren Bindung,größerem Kernabstand und flacherem Potentialtopf, indem die Schwingungsterme enger liegen. Dann trifft wiein Abb. 12.26 der Fall zu, wo die Bandenkante im R-Zweigliegt und die Bande nach längeren Wellen zu abgeschattet ist.12.4.3. Franck-Condon-PrinzipDa die Kerne ihren Abstand während eines Elektronenübergangespraktisch nicht ändern können, sind solche Übergängeimmer durch senkrechte Linien darzustellen, die zwei Potentialkurvenverbinden, die zu den beiden Elektronenzuständengehören. Jeder der beiden Potentialtöpfe enthält vieleSchwingungsterme. Da ein Schwinger sich immer am längstenan seinen Umkehrpunkten aufhält (quantenmechanischausgedrückt: weil die Wellenfunktion des harmonischen Oszillatorsaußen am größten ist), ist es sehr wahrscheinlich,daß der Elektronenübergang die Atome an Extrempunktenihrer Schwingung antrifft. Diejenigen Linien werden also besondersintensiv, die Schwingungstermen entsprechen, derenUmkehrpunkte im Potentialkurvenschema direkt untereinanderliegen. Je nach der gegenseitigen Lage der Potentialminima(bindender oder lockernder Elektronenübergang) kanndas für sehr verschiedene Termkombinationen zutreffen.12.4.4. DissoziationKernschwingungszustände werden durch horizontale Linienim Potentialtopf dargestellt. Diese Linien konvergieren wegender nichtparabolischen Topfform gegen eine Seriengrenze,die Dissoziationsenergie, gegeben durch die Asymptotedes rechten Astes der Potentialkurve. Ein dissoziierter Zustandliegt bei oder über dieser Grenze. Nach Franck­Condon erfolgen optische Übergänge ohne wesentlicheÄnderung der Kernlagen und -geschwindigkeiten. Ein Übergangvom Grundzustand (fast am Topfboden) unter Erhaltungdes Kemortes, also senkrecht nach oben, führt in einGebiet, das heftiger Kernbewegung mit einer Geschwindigkeitentspricht, die viel größer als die im Grundzustand ist.(Die kinetische Energie wird gegeben durch den Abstandzwischen der Term-Horizontalen und der Potentialkurve.)Daher führt eine Absorption im Bereich des Schwingungsspektrumsnicht zur Dissoziation. Thermische Stöße könnendagegen dissoziieren, indem sie nach und nach immer höhereSchwingungszustände anregen. Optische Dissoziation ist nurunter Beteiligung eines Elektronenüberganges möglich. DiePotentialkurve eines hochangeregten Zustandes liegt entsprechendder Zunahme des Kernabstandes oft mit ihrer Seriengrenzeoder ihrem Dissoziationsgebiet über dem Potentialminimumdes Grundzustandes. Bei einer solchen Dissoziationbleibt meist einer der Bestandteile zunächst im angeregtenZustand. Die Energie des dissoziierenden Photons ist demnachgleich der Anregungsenergie plus der Dissoziationsenergiedes Grundzustandes, die durch die Frequenz derBandenkonvergenz gegeben wird.12.5.1. Röntgens ApparaturRöntgen macht in seinen Originalveröffentlichungen keineAngabe über die Kathodenspannung. Vermutlich benutzteer aber, wie damals für Kathodenstrahlexperimente allgemeinüblich, ein lnduktorium (Rühmkorff-Spule), bei demeine galvanische Niederspannung mittels eines hohen Windungszahlverhältnisses(1 000: 1 oder mehr) und einesUnterbrechers hochtransformiert wurde. Als Kathodenspannungwar natürlich nur eine Spannungsrichtung brauchbar,