Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIII1210 : : Lösungen zu den AufgabenNormierung mittels x = bnlc. y = amlc, z = ct, d = bnJ/c,ergibt x' = d- x- xy, y' = xy - y, u = x + y, d. h. u' =d-uführt zur Bernoulli-Gleichung y 1 = -i + y(d- 1 - (d -uo) e-z), die mit v = 1ly linear wird: v' = 1-f(z)v. Aberdie Lösung (Variation der Konstanten) ist wegen der unlösbarenIntegrale sehr unübersichtlich. Auch das Möglichkeitsschemaallein gibt keine klare Auskunft: Beide Schemata (fürd > 1 und d < 1) sind zyklisch, erlauben also beliebig vieleUmläufe mit abwechselnden Extrema von n und m, also auchperiodische Schwingungen. Wir machen es lieber anders: Anden Fixpunkten Pt = (1, d- 1 ), Pz = (d, 0) hat die Jacobi­Matrix die Eigenwerte -1, 1 - d bzw. d - 1, -1. Bei d > list also P1 stabil, Pz ein Sattel, bei d < 1 umgekehrt. Wiemünden die Trajektorien in den jeweiligen Fixpunkt? Manbeachte: y = d- x ist selbst eine Trajektorie (einsetzen!),kann daher von keiner anderen Trajektorie überschritten werdenund schneidet die hyperbelförmige Nullklirre y = d I x- 1genau in den beiden Fixpunkten. Bei d > 1 zerlegen dieNullklirren x = 1 und y = dlx- 1 den positiven Quadrantenin vier Teile mit verschiedener Richtung der Tangentenpfeile(Abb. 18.7). Folgt man diesen Richtungen, dann sieht man:Bei Yo < d - xo steigt x bis zur Hyperbel und muß auf dieserin den engen Zwickel 3' zwischen ihr und y = d - x einbiegen(Maximum von x), in dem sie bis P 1 läuft. Entsprechendläuft sie bei yo > d- xo von oben in den Zwickel I'. Beid < 1 gibt es nur den Fixpunkt Pz: Die Bakterien verhungernirrfolge Unterversorgung.18.4.1. DreiecksdynamikXt = 2al ( 1 + 2a) ist ein Fixpunkt für a > ! (rechter Ast desDreiecks). Wegen f' (xi) = -2a > 1 ist er instabil: Abweichungenvon XI werden immer größer. Eine Zweierperiodeist nur so möglich, daß x zwischen den beiden Ästen hinundherspringt: Es muß 2a(1 - 2ax) = x sein, also x = x2= 2a I ( 1 + 4a 2 ). Wenn a wenig größer als ! ist, ist der Bereichzwischen Dreiecksspitze und der x-Geraden, in demauch xz liegt, so eng, daß man irgendwann immer einescheinbare Zweierperiode erreicht. Auch diese ist aber instabil:Jede Abweichung wächst schnell an. x = x3 =2al ( 1 + 8a3) liefert eine Dreierperiode, x = x4 =2al(1 + 16a4) mit a > 0,919616 eine Viererperiode usw.,alle instabil. Der Ljapunow-Exponent ist nämlich in jedemFall positiv, denn lf' (x) J ist auf beiden Ästen größer als 1.18.4.2. Irrationale ÜberraschungVon Rationalzahlen reden wir nicht: In ihnen wiederholt sichnur eine bestimmte Ziffernfolge, aber sie bilden eine verschwindendeMinderheit; die Menge der Irrationalzahlenist im Gegensatz zu ihnen nicht abzählbar. Wir greifen irgendeineIrrationalzahl heraus. Gibt es in ihr z. B. eine Ziffer7? Wenn nicht, kommen nur die neun anderen Ziffern vor.Wenn man z. B. die ersten 100 Ziffern betrachtet, gibt esnur 9 100 Zahlen ohne 7 unter 10 100 Zahlen überhaupt. Nurjede 38 000-ste Zahl ist dort ohne 7. Für unendlich viele Zifferngeht dieses Verhältnis gegen Null. Es ist aber egal, obman mit der Zählung vorn anfängt oder erst nach der ersten7, also kommen in fast allen Zahlen noch unendlich vieleZiffern 7. Daß wir aber dezimal schreiben, ist nur ein anatomischerZufall. Ein Tausendfüßler rechnet wahrscheinlich imTausendersystem und hat z. B. eine eigene Ziffer für 777. Fürdiese gilt dasselbe wie für unsere 7: Auch diese wie jedeZiffernfolge wiederholt sich fast immer unendlich oft.18.4.3. Mal andersDie schulmäßige Lösung wird für a > ~ komplex, Parabely = x 2 + a und Gerade y = x schneiden sich nicht mehr.Das Spinn web-Verfahren muß gegen oo führen. Auch füra < ~ ist das der Fall, wenn man mit xo > xz =! + Fa beginnt. Wenn überhaupt Konvergenz erfolgt,nämlich bei - ~ < a < ~. dann gegen die kleinere LösungXI = 2 I - y ~ 4 - a. F'' ur - 5 34 < a < - 4 osz1 'll' 1ert x zw1sc . h enzwei Werten, deren Summe immer -1 ist. Warum alldies? Die Fixpunkte x 1 und xz der Abbildung x