Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIIIII1212 Lösungen zu den Aufgabenwinzigsten. Die Gleichung z 3 - ~ z 2 zn-i +! = 0 gilt auch imKomplexen und erzeugt aus jedem schwarzen Loch der Ordnungn - 1 bei Zn-1 nach dem Fundamentalsatz der Algebradrei Lösungen Zn· Aus zo entstehen so drei Löcher ZJ, darausneun Löcher z2, daraus 27 ... In Abb. 18.36 ist die Genealogieder Löcher so bezeichnet: Vom Loch 21 stammen abdie Löcher 211, 212 und 213 usw.18.4.13. IterationDie erste Aussage folgt aus der Kettenregel der Differentiation:Der Strich bedeutet ja immer Ableitung nach dem dahinterstehendenArgument, also j 2 ' (x) = f' (f ( x)) f' ( x) =f'(xi)f'(xo). Für einen Fixpunkt sind alle x; identisch, wasdie beiden nächsten Aussagen bestätig;t. Ein stabiler FixpunktX hat j'(x) < 1, also ist dort r (x) erst recht < 1:Die Stabilität überträgt sich auf die geschachtelten Iterationen,ebenso die Instabilität.18.4.14. PercolationDie leitenden Teilchen bedeuten Wasser, die nichtleitendenLand. Bei kleinem p bilden sich isolierte Inseln im Meer,bei großem eine Seenlandschaft Der Stoff leitet, wennman mit dem Boot von der Ost- zur Westküste kommenkann. Das ist genau dann der Fall, wenn man nicht trockenenFußes von Nord nach Süd gehen kann. Wasser und Land sindalso völlig gleichberechtigt: Der Übergang zwischen beidenFällen liegt bei p = !·Beim Drei- oder Viereck ist das anders:Es gibt zwei Sorten Nachbarn; die einen berühren sich mitder Seite, die anderen mit der Spitze, was nicht als echterKontakt zählt. Hier gibt es einen Bereich um p = !, wo wederdas Boot noch der Wanderer durchkommt.18.4.15. WurzelFür Va wähle man den Schätzwert xo. Was am exakten Ergebnisfehlt, nenne man yo, d. h. (xo + Yo) 2 = a "'"x6 + 2xoyo,daraus Yo = ! (al xo - xo) und die nächste Näherung XJ =! (xo + alxo). Die Rechnergenauigkeit ist nach wenigenSchritten erschöpft. y'a erhält man analog durch die IterationXi+i = (aiX:-i +x;(n- 1))1n. Diese Art Iterationsetzt offenbar voraus, daß man die Urnkehrfunktion, hierdie Potenz, beherrscht. Mit ex oder sinx muß man andersvorgehen. Entweder man erinnert sich an die Taylor-Reihen(echte Iteration) oder an die Definition von ~ alslim(1 +xln)n. Mit n = 2 32 (viermal Quadrieren) gibt dereinfachste Taschenrechner e"'" 2,718239964, also fünfstelligeGenauigkeit. Umgekehrt ist lnx "'" n( y'x - 1); mitn = 220 folgt In 10 "'" 2,3025 (fünf Stellen stimmen).18.4.16. Trick 17Die fallende Funktion ae-x schneidet die Gerade y = x genaueinmal. Die Ableitung -a e-x ist am Fixpunkt gleich -x.Dies muß zwischen -1 und 1 liegen, damit dieser Fixpunktstabil ist. x = 1 bedeutet ae- 1 = 1, d.h. a = e; x = -1 bedeuteta = 1 I e. Außerhalb des Bereichs 1 I e < a < e kehreman die Funktion um: x +--- -ln(xla). Ihre Ableitung hatdann als Kehrwert der Ableitung von ae-x bestimmt einenBetrag < 1.18.4.17. Charlier-ModellDie Hausdorff-Dimension ist geometrisch definiert, alsomüssen wir zuerst Massen in Volumina verwandeln, z. B.durch die Annahme, daß Sterne im Mittel ungefähr die gleicheDichte haben. Wenn nun ein System n + 1-ter Ordnungaus N Systemen n-ter Ordnung besteht, deren Durchmesserdn und deren Abstand Rn = brn ist, hat es selbst die MasseMn+! = NMn und den Durchmesser dn+i = N 1 i 3 brn. BeijedemSchritt wächst die Masse um den Faktor N, der Durchmesserum den größeren Faktor bN 1 1 3 , so daß die Dichtegegen 0 geht: Die Hausdorff-Dimension ist D = IogN I1og(bN11 3 ) = 31(1 + 31ogbj1ogN). Für Galaxienclustergilt etwa b = 10, N = 10 000; wenn das sich so weiterstaffelt,hat das Weltall D = 1, 71. Modeme Beobachtungen deutenallerdings eher auf eine Schaumstruktur mit "großenMauern" u. ä. hin, aber auch auf "große Attraktoren", dievielleicht solche Super-Superclusters sind.18.4.18. Hele-Shaw-MusterBeim Auseinanderziehen dringt die Luft nicht allseitig ein,sondern in Form einiger langer Zungen, die sich bald immermehr verzweigen. Nach der Trennung hat man auf beidenPlatten ein sehr fein verästeltes System von scharfen Rückenmit einem flachen Hof, der jeden Ast beiderseits begleitet. ImPositiv wie im Negativ ähnelt dies einem Flußsystem odereinem Strauch oder stark verzweigten Kraut. Der Ingenieur,der ein Gebiet durch Wasser- oder Stromleitungen versorgenoder dem Straßenverkehr erschließen soll, erzeugtganz ähnliche Muster, ebenso wie ein Embryo, der seineBlutgefäße anlegt. Da man Fett, das einmal im Fließen ist,leichter weiterschieben kann, versteht man, warum eine zufälligeEinbuchtung sich zum langen Fjord vertieft. Aberwarum verzweigt dieser sich nach ziemlich wohldefinierterLänge? Es handelt sich ja um ein negatives fraktales Wachstum,und auch dabei zeigt die Laplace-Gleichung oder anschaulicherdie Gummimembran, daß an stark gekrümmtenStellen der größte Vortrieb wirkt (vgl. Abschn. 18.4.3).18.4.19. Ein unmögliches ErgebnisMan warte besonders lange in dem Zustand, wo einige Kugelnnoch gerade über die Trennwand hüpfen können. Dabeiwird man beobachten, daß sie auf einer Seite höher springen,nämlich da, wo zufällig weniger Kugeln sind. Die meistenKugeln in jeder Hälfte bilden ja ein schwebendes Kissen,das das Hochspringen der Vorwitzigen behindert. So verstärktsich eine anfängliche Überzahl einer Seite von selbstdauernd, bis im Extremfall alleN Kugeln in einer Hälfte sind,entgegen der angeblich winzigen Wahrscheinlichkeit von2-N. Selbstverstärkung, auch als positive Rückkopplungoder Autokatalyse zu bezeichnen, führt hier wie in allen diesenExperimenten zu einem Keim der Strukturbildung.18.4.20. StromsystemDas hohe Feld an der Drahtspitze polarisiert zunächst dienahegelegenen Kugeln und zieht die entstandenen Dipoleirrfolge seiner Inhomogenität an. Zwischen sich berührendenKugeln brechen Ladungstrennung und Feld zusammen, und