Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 6: Lösungen 10736.1.1. Ist 1 C wenig oder viel?Durch einen 10 W-Rasierapparat fließen 0,05 A, alsoin 5 min15C. Für ein 600W-Bügeleisen lauten die Werte 3A und900 C, falls es 5 min ständig heizt (alles bei 220 V). ZweiKugeln, mit ±900 C geladen, würden einander in 1 m Abstandmit fast 1016 N anziehen! Alle statischen Aufladungensind offensichtlich sehr viel kleiner. Wenn man sich im Dunkelndas Nylonhemd über den Kopf zieht, sieht man, besondersbei trockener Luft, mehrere cm lange Entladungen. Dassetzt Spannungen um 100 kV voraus. Trotzdem bleiben dieLadungen sehr klein: Die Kapazität des Systems Körper­Hemd ist entsprechend der Abmessung von ca. 1 m vonder Ordnung e 0 Ajd ~ 10- 19 Farad, also erzeugen schonw-5 C die Spannung von 100 kV. Man müßte gehörig reiben,um das kleinste Elektrogerät betreiben zu können.6.1.2. AbschirmungDaß man elektrische Felder abschirmen kann, beruht auf derExistenz zweier Ladungsvorzeichen. Negative Ladungenschlucken die Feldlinien, die die positiven aussenden. Fürdie Gravitation gibt es trotz einiger spekulativer Ansätzekeine negativen Massen. Feldlinien, die von positiven Massenausgehen, laufen grundsätzlich bis ins Unendliche. Dasvon einem Schiff verdrängte Wasser kann man zwar als negativeMasse auffassen, um die Kräfte zu diskutieren, die aufdas Gesamtsystem wirken. Vom Standpunkt der Felderzeugungkönnte dieser heuristische Trick aber in die Irre führen.Ein Gravitationsschirm böte auf den ersten Blick erstaunlicheMöglichkeiten. Man könnte dahinter einen Körperkräftefrei heben und dann, nachdem man den Schirm entfernthat, wieder sinken und Arbeit leisten lassen. Vergleichmit dem elektrischen Fall, wo das Entsprechende durchausmöglich ist, zeigt aber, daß sich der Energiesatz auch sonicht betrügen läßt. Zum Verschieben des Schirms brauchtman nämlich auch Energie. Man muß ja entgegengesetzteLadungen (felderzeugende und abschirmende) voneinanderentfernen, oder anders ausgedrückt den felderfüllten Raumvergrößern. Beides kostet Energie, und zwar mindestens soviel,wie man gewinnt.6.1.3. Coulomb-Kraft und GravitationDie Coulomb-Kraft zwischen Elektron und Proton ist um denFaktor e 2 j(47reoGmpm) = 2,27-10 39 größer als die Gravitation,unabhängig vom Abstand. Von etwa 10 20 Atomenbrauchte nur eines eine positive oder negative Überschuß­Elementarladung zu tragen, und die Gravitation zwischenObjekten wäre kompensiert oder "erklärt", je nachdem obdiese Objekte gleichnamig oder ungleichnamig geladenwären. Eine so geringe Ionenkonzentration ließe sich direktnie nachweisen, ebensowenig wie sich ein evtl. Unterschiedvon 10- 20 e zwischen den Ladungen von Proton und Elektronz. B. im e / m-Versuch nachweisen ließe. Der wesentlicheUnterschied zwischen Gravitation und Coulomb-Kraft, nämlichdaß es nur Massen eines Vorzeichens gibt, aber zweiLadungsvorzeichen, entzieht einer solchen "Gravitationstheorie"den Boden. Die Erde zieht den Mond und denAstronauten Armstrang an. Also müßten Mond und Armstronggleichnamig geladen sein und einander abstoßen.Allerdings könnte sich Armstrang unterwegs umgeladenhaben. Die Erde zieht aber auch das Meer an, der Mondmüßte es also abstoßen, die Gezeiten hätten genau die entgegengesetztePhase. - Hypothetische Aufladung der Erdeetwa 10 13 C, die etwa 10 10 V erzeugen würden, der Sonneetwa 10 18 C mit 10 13 V.6.1.4. Mit oder ohne PotentialEin Potential existiert genau dann, wenn die Verschiebungskraftzwischen zwei beliebigen Punkten wegunabhängig ist.Das kann nicht der Fall sein, wenn es geschlossene Feldliniengibt, denn bei der Verschiebung auf diesen kann man beimrichtigen Umlaufsinn immerzu Arbeit gewinnen. Dies istaber nicht die einzige Feldlinienkonfiguration, die Existenzeines Potentials ausschließt. Man betrachte die parallelenStromlinien eines in der Mitte schneller strömenden Flusses.Ein Boot wird sich abwärts in der Mitte, aufwärts amRand halten und könnte so bei Reibungsfreiheit kreisendEnergie gewinnen. Eine einfache Änderung des Bezugssystemsstellt auch hier geschlossene Stromlinien her(Abb. 3.37). Allgemein läßt sich jedes Feld, das kein Potentialhat, aus einem Potentialfeld (das im Fluß-Beispiel homogenist) und einem Wirbelfeld (geschlossene Feldlinien) additivzusammensetzen. Wenn alle Feldlinien in "Ladungen"enden, können sie nicht geschlossen sein und sind auch durchkeine Änderung des Bezugssystems in geschlossene überführbar.All dies gilt allerdings nur für zeitunabhängigeFelder: Selbst wenn Land- und Seewind beide völlig homogeneStrömungsfelder haben, kann man bei entsprechenderzeitlicher Planung Arbeit auf der Rundreise sparen oderim Idealfall sogar gewinnen. Vektoranalytisch: Jedes Potentialfeldläßt sich als Gradient eines Skalarfeldes (nämlichdes Potentials) darstellen: E = -grad lp. Ein solches Feldist rotationsfrei, denn es gilt allgemein rot grad lp =(lp,zy -lp,YZ' lp,xz -lp,zp lp,yx -lp,xy) = 0. Andererseits hatein Feld, das sich als Rotation einer anderen Vektorgrößedarstellen läßt (ein reines Wirbelfeld, A =rot B) keine Divergenz:div rot B = Bz,yx - By,zx + Bx,zy - Bz,xy + By,xz -Bx,yz = 0 (der erste Index kennzeichnet immer die Komponente,hinter dem Komma stehen die Koordinaten, nachdenen abgeleitet werden soll; man beachte, daß die Reihenfolgeder Ableitungen keine Rolle spielt). Jedes beliebigeFeld läßt sich in eindeutiger Weise in ein Potentialfeldgrad lp und ein Wirbelfeld rot B zerlegen: A = -grad lp +rot B. Zu div A trägt nur das Potentialfeld bei:div A = - div grad lp = -Alp. Außerhalb von Feldquellengilt die Laplace-Gleichung Alp = 0, in Bereichen mit derQuelldichte a die Poisson-Gleichung Alp= -a. Im elektrischenFall ist a = eeoe-6.1.5. Newton hatte es schwererWir bestimmen Potential und Feld im Punkt P im Abstand avon der Kugelmitte M. Die leitende Kugel (Radius R) trägt