Lösungen zu den Aufgaben - Springer

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IIIIII1214 Lösungen zu den Aufgabenreelle Lösung, demnach entweder drei negative oder einenegative und ein komplex konjugiertes Paar. Am Übergangzwischen beiden Fällen fallen zwei reelle Lösungen zusammen,die Kurvef(J.) berührt dort mit ihrem Minimum die},Achse. Hier verwandeln sich die bisher stabilen Knoten ineinlaufende Spiralen. Das komplexe Paar hat ja zunächstnoch negative Realteile, die Stabilität bleibt vorläufig erhalten.Wo die Doppelwurzel liegt, ist mühsam zu berechnen.Man schreibe die charakteristische Gleichung x 3 + bx 2 +cx + d = 0, substituiere y = x - b/3, was auf f(y) = y3+ 3py + 2q = 0 mit p = c/3 - b 2 j9, q = b 3 j27 -bc/6 + d/2 führt. Bedingung für die Doppelwurzel: f = 0und f' = 0, woraus folgt y = -q / p, und dies in f' = 0 eingesetztgibt p 3 + q 2 = 0. Bei rx = 10, y = 3 z. B. ergibt dasß = 1,3 85. Das zweite wichtige Ereignis findet statt, wenndas komplexe Paar die imaginäre Achse überschreitet, alsodie Wirbel instabil werden. Dann müssen die Eigenwerte lauten(), is -is, und f(}c) heißt (J,- ()) · (J.- il:) · (i, + is) =;.3 + (5}.2 + 8 2 }. + ()s2 = 0. Vergleich mit der Originalgestaltergibt () = 1 + a + y = 2rx(ß- 1)/(rx + ß) oder ß =(3 + rx + y)j(rx- 1 - y). Bei rx = 10, y = 3 haben wir für1,385 < ß < 26,67 stabile Spiralen, darüber den chaotischenLorenz-Attraktor.18.4.27. Das Apfelmännchen auf dem FeigenbaumMandelbrot geht einfacher, weil er kein lineares Glied enthält.Das Komplexe stört dabei gar nicht. Mit x =l/2- z/a, a = I+ Vl- 4c können wir die Ergebnisseauf die logistische Iteration übertragen. Der einfache Fixpunktistdefiniert durch z = z 2 + c. Das Produkt der beidenLösungen ist c (Vieta: z 2 - z + c = (z- Zl) (z- zz) ). Stabilitätsgrenze:lf' (z;) I = 2lz;l = l. So erhält man die Epizykloide,die den großen "Apfel" begrenzt. Die Zweierperiodeverlangt Z3 = f(zz) = !lf(z1)) = zi + 2czf + c(1 + c) = Z1·Das Polynom z 4 + 2cz - z + c(l + c) = 0 hat vier Wurzeln,deren Produkt c( c + 1) ist. Zwei davon kennen wirschon: Die einfachen Fixpunkte erfüllen die Periodizitätsbedingungauch. Ihr Produkt ist c. Für die beiden anderen bleibtdas Produkt 1 + c. Stabilitätsgrenze: lf2'(z1)1 = lf'(z2)!'(z1)1= 4IZ2Zll = 411 + ci = 1: Kreis um -1 mit Radius;!. Bei derDreierperiode ergibt sich ein Polynom achten Grades mitdem Produkt c(c3 + 2c 2 + c + 1) der acht Wurzeln. Zweidavon für die Einerperiode sind für das c verantwortlich,die sechs anderen bilden drei konjugiert komplexe Paare.Je drei von ihnen ergeben die Stabilitätsgrenze lf3'1 =lf'(zJ)!'(zz)f'(zJ)I = 8lz3Z2Z!I = 1, alle sechs also64 IT~ z; = 64(c3 + 2c 2 + c + 1) = ±1. Man findet leichtdie Lösung c = - i = -1,75 für +I und numerisch c =-1 , 7 59708 für -1, sowie dann die beiden anderen c =- k ± i ß/8. Die reelle entspricht dem winzigen scheinbarisolierten Apfelmännchen ganz links, das komplexe Paar denbeiden großen Buchten oben und unten auf dem großenApfel. Vergleich der Mandelbrot- und der Feigenbaum-Grenzenim Reellen: Einerperiode zwischen ;! und - ~ bzw. 1 und3, Zweierperiode zwischen - ~ und - ~ bzw. 3 und 1 + v'6.Dreierperiode zwischen - i und -1,759708 bzw. 1 + v's =3,828427 und 3,835285.
FarbtafelnTafel 1:Strömungslehre ................... . ... . .......... . . . 1216Tafel2:Optische Phänomene .. . .......... . . . .. . ...... . ...... 1218Tafel3:Nuklidkarte .. . .................................... . 1220Tafel4:Z-Zerfall im ALEPH-Detektor ..... . ... . . ....... ... ... . 1221Tafel 5:Fulleren-Kristalle .. . . .. . . .. . . .. ... . . . . . . .. ...... . . . . 1222Tafel 6:Relativistische Fahrt durch Berlin . . ... . ......... .. ..... 1223Tafel 7:Fraktale Strukturen 1 .. . . . .. .. . . ... . . .. . . . . . . . . . .. . . . 1224Tafel 8:Fraktale Strukturen 2 ......... . ... . . .. ...... . . . .. . ... 1226Tafel9:Spektroskopie und Farbenlehre ..... . ............. .. . .. 1228Tafe110:Farbräume .... . ..... . . . . ..... ... . .......... . ...... . 1230
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