Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1160 Lösungen zu den Aufgabenwie oben. Wenn v und w gleichsinnig sind, tritt das Teilchenim Laborsystem mit v - 2w aus und hat die Energie2mw(v- w) verloren.13.5.12. Fermi-BeschleunigerDaß interstellare Gaswolken magnetisiert sind, weiß man ausder Polarisation des Stemlichts, das durch solche Wolkengelaufen ist. Sie bewegen sich typischerweise mit etwa100 km/s. Geladene Teilchen treffen auf ihrem Weg ebensooftauf Wolken, die in der gleichen, wie auf solche, die14.1.2. Diamant-SchleifereiDiamant ist zwar härter als Stahl - d. h. bei gegenseitigerLangzeitbeanspruchung würde der Stahl nachgeben -, aberals Valenzkristall spröder als das Metall, das keine gerichtetenBindungen hat und bei hinreichend kurzzeitiger Beanspruchungüberlegen ist. Oktaederflächen sind 111-Flächen.Sie sind dichter mit Atommittelpunkten besetzt alsalle anderen Flächen. Eben deswegen aber ist der Abstandzweier benachbarter 111-Flächen größer als für alle anderenFlächen (Flächendichte ~ Netzebenenabstand, denn die GeinGegenrichtung fliegen. Im ersten Fall verlieren sie2mw( v - w) an Energie, im zweiten gewinnen sie2mw(v + w). Im Mittel bleibt für jeden Stoß ein Gewinnvon 2mw2 . Ein Teilchen, das fast mit c fliegt, trifft allepaar Jahre auf eine Wolke von einigen Lichtjahren Durchmesser.Ein Proton gewinnt jedesmal etwa 100 e V; in 10 10Jahren, während deren das galaktische Magnetfeld es indichtbesiedelte Gebiete fesseln könnte, kann es auf einige100 Ge V kommen, vielleicht noch höher, wenn zwei einanderentgegenfliegende Wolken damit Tennis spielen.14.1.1. Eisen-KristallDie Raumerfüllungen durch kugelförmige Ionenrümpfe sind0,7405 im kubisch-flächenzentrierten (kfz), 0,6802 im kubisch-raumzentrierten(krz) Gitter. Im kfzGitterpassen nämlichvier Ionenradien auf die Flächendiagonale des Elementarwürfels:d = 2.J2T; im krz Gitter passen vier Ionenradienauf die Raumdiagonale: d = 4T j v'3; Raumerfüllungv47rT 3 /(3d 3 ) mit v = 4 (kfz) bzw. v = 2 (krz). An Zwischengitterplätzenstehen zur Verfügung: Im kfz Gitter eine Oktaederlückepro Gitterteilchen, maximaler Radius einer einzubauendenKugel r 2 = 0,414r (Würfelzentrum und Flächenmittendes Elementarwürfels), zwei Tetraederlücken pro Gitterteilchenmit Tz = 0,225r (eine in jedem Achtelwürfel). Imkrz Gitter gibt es drei Oktaederlücken pro Gitterteilchen mitr 2 = 0, 155r (in den Flächenmitten und gleichwertig in denKantenmitten). Obwohl also das krz Gitter im ganzenmehr "Luft" enthält, passen nur kleinere Zwischengitterteilebenhinein, weil dieser Platz schlechter verteilt ist. Die Lükkensind in einer Richtung sehr breit (0,633r in der Würfelfläche),können aber trotzdem nur sehr kleine Kugeln aufnehmen(0,155r senkrecht zur Würfelfläche). Kohlenstoff mitrc = 0,77 A (vgl. Abb.l2.56) paßt annähernd in die Oktaederlückendes kfz Gitters des Eisens (r = 1,24 A,Tz = 0,51 A) und baut sich daher leicht in die Schmelzeein. Beim Übergang zum krz IX-Gitter bei Abkühlung bleibendem C zwei Wege: Er kann das Gitter zum tetragonalen Martensit-Gitterdeformieren (der Elementarwürfel streckt sichdann in einer Richtung in die Länge), oder er kann sich ausscheiden,und zwar i. allg. als Eisenkarbid Fe3C. Diese intermetallischeVerbindung ist viel härter als Eisen. Ihre Einschlüsseverhindem das Übereinandergleiten der Fe-Gitterebenenund härten das Eisen zum Stahl.samtzahl der Atome muß immer gleich sein). Dodekaederflächen(110) und Würfelflächen (100) sind um die Faktoren0,612 bzw. 0,866 lockerer besetzt und einander näher. Nurjedes zweite Atom einer Oktaederfläche hat eine Bindungzur Nachbarnetzebene (dritte Bindung in der Netzebene verbraucht;abwechselnd eine Bindung zur oberen, eine zur unterenNetzebene). Jedes Atom in einer Würfelfläche recktzwei Bindungen schräg der Nachbarfläche entgegen, diesich in sie verzahnt.- Dodekaederfläche: Auch zwei Bindungen/Atomzur Nachbarfläche; nicht so stark verzahnt wie dieWürfelflächen. Die verschiedenen Schleifrichtungen einerFläche unterscheiden sich ähnlich wie die Streichelrichtungeneines Hundefells mit dem Strich bzw. gegen ihn. DieHaare sind hier natürlich die schräg wegstehenden Bindungen.In einer 111-0ktaederfläche hat jedes Atom sechs nächsteNachbarn in sechszähliger Symmetrie um sich, in der 100-Würfelfläche vier nächste Nachbarn in vierzähliger Symmetrie,in der 110-Dodekaederfläche nur zwei nächste Nachbarnin zweizähliger Symmetrie (die anderen beiden Nachbarnsind weiter entfernt). Das erklärt die Form der Schlagnarben.14.1.3. MadeJung-Konstantee 2 2 2w = ---(2- 2 + 3- 4 + - ...).4m>oroDie Reihe konvergiert zum Verzweifeln langsam. Vergleichmit der ln-Reihe entpuppt die Madelung-Konstante, d. h. denKlammerausdruck als 2ln 2 = 1,39. Für N aCl ist To =I 1/3 o(2 (23+35,5)mp/Q) = 2,81A, also W = 5,1eV·1,39= -7,0 eV. Beim dreidimensionalen NaCl-Kristall kommen-8,8 eV heraus.14.1.4. GitterpotentialBei großem Abstand überwiegt im Ionenkristall die Coulomb-Anziehung(n = 1), bei kleinem die r-m-Abstoßung.Das Minimum bei ro = (mA/B) 1 /(m-I) hat die Tiefe Wo= -(1- 1/m)B/To. Dort herrscht die Krümmung wg =(m- I)B/Tß. Die Dichte oder die Röntgenstreuung liefernro 2,8 A, der Bom-Haber-Kreisprozeß Wo6,2 · 10- 19 J pro Gitterion. Nach Abb. 11.20 haben die Gitterschwingungendie beherrschende Wellenlänge 60 11m,w = 3 · 1013 s- 1 . Im Topf mit der Krümmung wg schwingtein Teilchen der Masse m mit w = Jwg j m. Es folgt m = 4,