Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 4: Lösungen 10494.5.5. KlangfarbeAls Perioden liest man ab 2,5 ms, 3,75 ms, 3,75 ms, für dieFrequenzen also 400Hz, 267 Hz, 267Hz. Wahrscheinlichspielen die Künstler g', c', c' (392Hz, 262Hz, 262Hz).Die Geige spielt die Quint zu Trompete und Klarinette.Der Klarinettenton m enthält sehr stark und fast ausschließlichdie Oktave 2m (allerdings etwas phasenverschoben, wasdas Ohr nicht wahrnimmt). Er klingt daher etwas leer undscharf (bewußt so gespielt, im Beispiel vom Jazz-KlarinettistenBill Munroe). Auch die Trompete ist bewußt scharf angeblasen(Louis Armstrong), enthält aber 3m, die höhereQuint (zum Klang leerer Quinten vgl. 9. Sinfonie). DerGeigenton nähert sich der Dreieckskurve von Abb. 4.10,die alle "geraden" Obertöne nm mit n = 2m+ 1 enthält,wenn auch in einer mit n- 2 abnehmenden Intensität. m,3m, Sm bilden den Dur-Dreiklang. Daher klingt die Geigeam wärmsten. Ganz "dolce" wird sie hier aber auch nichtgespielt, wie die starke aufgesetzte Wellenlinie mit 1mzeigt. Zino Francescatti legt etwas von der Schärfe undSpannung des Dominantseptakkords hinein.4.5.6. Reine StimmungDie reine Stimmung strebt rationale Frequenzverhältnissemit möglichst kleinem Zähler und Nenner an. Die großeTerz (5/4) läßt sich aber nicht in zwei gleich große Ganztönezerlegen (dies ergäbe VSI2), sondern nur in einen großen(9/8) und einen kleinen (10/9) Ganzton. Das Frequenzverhältniszwischen beiden Ganztönen (81/80), das syntonischeKomma, wird von einem einigermaßen guten Ohr wahrgenommen.Stimmt man_das Intervall c-d als großen Ganzton9/8 undc-aals 5/3 (a als kleine Terz zur Oktave 2: 5/3 = 6/5),dann ergibt sich g-a' als 5/3: 3/2 = 10/9. G-Dur erhält damiteinen kleinen Ganzton als Sekundschritt Das ginge vielleichtnoch an, aber bei der nächsten Tonart (D-Dur) wird dannsogar die Quint falsch (20/9: 3/2 = 40/27 =/= 3 12).4.5.7. Warum hören wir nicht feiner?Man kann das Trommelfell als ein Teilchen ansehen, das eineunregelmäßige Brownsche Zitterbewegung mit der mittlerenEnergie W = kT ausführt (! kT für die kinetische, ebensovielfür die potentielle Energie der Schwingung). Während derPeriode -r einer 1000 Hz-Welle, für die das menschlicheOhr am empfindlichsten ist, entspricht das einer LeistungkT 1-r ~ 4. w- 18 W oder bei einer Trommelfellfläche von0,3 cm 2 einer völlig aperiodischen Schallintensität von etwasmehr als w- 17 w I cm 2 . Die Hörschwelle liegt beiw-16 W 1 cm2. Wäre sie wesentlich geringer, würde mannur noch thermisches Rauschen hören. Dieses Rauschenist "weiß", denn in den völlig regellosen Impulsen sindalle Frequenzen gleich stark vertreten. Mehr Einblick inden Mechanismus gibt die folgende Ableitung: Die TrommelfellflächeA erfährt im Durchschnitt in der Zeit -rz = ~nvA-rMolekülstöße, die den Luftdruck d~stellen.Eine solche statistische Stoßzahl ist nach Poisson me genaurealisiert, sondern nur bis auf eine StandardabweichungAz = "fi. vom Mittelwert. Mit -r = 1 ms ist z ~ 0,6 · 10 20 ,also Azl z ~ w- 10 . Innerhalb der Schallperiode kann alsoder Druck auf der einen Seite des Trommelfelles leicht umw- 10 bar größer sein als auf der anderen. Eine solche Druckamplitudevon w- 10 bar entspricht gemäß I=!cAp 2 IKeiner Schallintensität von etwas mehr als w- 17 W I cm2.Allgemein erhält man I~ jp2 I(KnvA-r). Die Rauschintensitätließe sich also hinabdrücken, wenn man das Trommelfellvergrößerte und die Frequenz des Empfindlichkeitsmaximumssenkte. Beide Maßnahmen steigern nämlich dieStoßzahl und senken damit ihre relative Abweichung vomMittelwert. Dann erst hätten vergrößerte Ohrmuschelnu. dgl. einen Sinn.4.5.8. BasilarmembranWenn ein Zungenfrequenzmesser rasch wechselnden Schallsignalenfolgen soll, müssen die Resonatoren stark gedämpftsein, sonst würden sie mehr den Nachhall vergangener Signaleals die jetzigen wiedergeben. Starke Dämpfung machtdie Resonanzkurve breit, d. h. die Resonatoren sprechen auchauf andere Frequenzen als auf ihre Resonanzfrequenz an. DieNachhallzeit eines einmal angestoßenen Resonators, definiertals die Zeit, in der seine Energie um den Faktor e abklingt,ist -r = 2lb = mlk (s. Abschn.4.1.2; der Faktor 2stammt daher, daß die Energie durch das Amplitudenquadratgegeben wird). Bei dem Dämpfungsfaktor k hat das Resonanzmaximumdie Breite Am~ mokiV2iiJJ = klm = c 1 .Trennschärfe und Nachhallzeit sind also direkt gekoppelt.Wenn das Ohr im meistbenutzten Frequenzbereich um400Hz Unterschiede um einen Achtelton, d.h. Avlv ~0,007, Am~ 20 wahrnehmen soll, ergibt sich also eineNachhallzeit von 0,02 s, die auch sonst als "physiologischeFlimmergrenze" eine generelle Rolle spielt (Kino usw.).Hierbei ist vorausgesetzt, daß eine Verstimmung erst bemerktwird, wenn die Amplitude des entsprechenden Resonatorsauf die Hälfte abgesunken ist. Besonders ein geübtesOhr leistet natürlich viel mehr.4.5.9. NachhallEine Nachhallzeit von einigen zehntel Sekunden ist im Vortragssaalnoch erträglich, im Musiksaal kann sie länger sein.Im Raum vom Volumen V steckt eine Schallenergie W = Q V.Die in eine gegebene Richtung wandemde Intensität ist etwaI = ~ gc. Die Wandfläche A mit der mittleren "Absorption" a(man beachte, daß dies kein Absorptionskoeff~zient im üblichenSinne ist) verringert die Energie um W = -aiA. Wklingt, wenn plötzlich Ruhe eintritt, exponentiell ab mit-r = - W lW = 6V I ( IXAc ), für einen Würfel der Kante awird r = al(ac). Langgestreckte Räume haben relativ größeresA,also kürzeres r. Ein großes Opernhaus kommt derWürfelformnoch am nächsten. Bei a = 40 m muß überall IX = 0,4sein, damit r ~ 0,3 s bleibt. Schlußfolgerungen auf Ausführungstechnikvon Schauspiel, Predigt, Barock- und Kammermusikliegen nahe.4.5.10. Wer heizt die Corona?Im Stern nehmen Druck und Dichte nach innen stark zu,Temperatur und Schallgeschwindigkeit es = JYPf(i ~ vTebenfalls. p ist der Schweredruck (gleich dem gaskineti-