Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 4: Lösungen 1043schlitz so weit, daß sich die Balkenstücke nicht gegenseitigabstützen, dann trägt dieser Doppelbalken schon die doppelteLast wie ein einzelner. Ist dagegen der Schlitz sehr fein, bedeutetdas Zersägen keinen Festigkeitsverlust Die Stirnseiteder einen Balkenhälfte übt dann nämlich auf die andere einStützmoment aus, das genau so groß ist wie das Moment, dasdie Einspannung auf ihr Balkenende ausübt, denn der Erfolgist an beiden Seiten der gleiche: Der Balkenquerschnitt hatsich senkrecht gestellt. Beide Momente haben auch den gleichenDrehsinn, addieren sich also und halten einem doppeltso großen lastbedingten Moment das Gleichgewicht, alswenn der Balken nur einseitig eingespannt wäre. Im ganzenhat sich die Tragfähigkeit also vervierfacht. Bei der quantitativenÜberlegung bedenke man: Momente wie das Einspannmomentin der Balkenmitte pflanzen sich ungeändertbis zum anderen Balkenende fort. Kräfte wie die Last dagegenmüssen mit der Entfernung bis zu dem Punkt, wo mandas resultierende Moment bestimmen will, multipliziert werden.3.4.8. SägewerkNach Abschn. 3.4.6 muß d2b maximal sein, wobei natürlichd und b mit dem Stammdurchmesser D immer nachPythagoras verknüpft sein müssen: D 2 = d 2 + b 2 . Wir drükkendie Tragfähigkeit durch b allein aus: (D 2 - b 2 )b undbestimmen das Maximum dieses Ausdrucks durchDifferenzieren: D 2 - b 2 - 2b 2 = 0, also b = D I J3,d = Dvf[j3. Die Tragfähigkeit ist um den Faktor4v'213\13 = 1,09 größer als bei quadratischem Querschnitt.3.4.9. FlächenträgheitsmomentBei gegebenem Biegeradius R sind Spannung und Dehnungproportional zum Abstand x von der neutralen Faser:a = ExiR. Das Flächenelement dxdy übt die KraftdF = a dx dy und das Moment dT = x dF = Ex2 dx dy aus,der ganze Querschnitt also das Moment T =ER- 1 • JJ x2 dxdy =EI IR. Eine Scheibe der Dicke d, querzum Balken geschnitten, hätte das übliche TrägheitsmomentJ = I gd. Das Rechteck mit der Länge a in x-Richtung, bin y­Richtung hat I= ba 3 112, der Kreis vom Radius r hatI= 1rr 4 14 (am bequemsten in Polarkoordinaten auszurechnen:dxdy = rdtpdr, I= J~ jg1r ?sintprdtpdr). Der Kreis-ring (Rohrquerschnitt) hat I= h - h = 1r(ri- r~)l4, derDoppel-T-Träger, dessen Querschnitt ins Rechteck a, b einbeschriebenist und der überall die Materialstärke d hat,I= da 3 /12 + dba 2 14. Bei gegebenem QuerschnittA = d(2b + a) hat I kein Maximum im Endlichen, sondernI steigt monoton mit a: Bei gegebener Masse wäre ein unendlichschmaler Träger am biegesteifsten. In Wirklichkeit istdie Höhe a des Mittelsteges durch seine Knickfestigkeit begrenzt(Abschn. 3.4.7).3.4.10. Ein teurer FehlerDie Ventile sind unten, denn die Luft muß raus, und sie istschwerer (29/18) als kühler, erst recht als heißer Wasserdampf.Wenn man beide zumacht, kondensiert der Dampf,der Innendruck wird minimal. Auf ein Wandstück der Flächelb wirkt von außen Fp = plb, Gleichgewicht erfordertTangentialkräfte F = Fprll (vgl. Abb. 3.26), also Spannungena = F j(bd) = prld (d: Wandstärke). Bei a > CJF,d.h. p > PF = aFd/r wird das Material zerquetscht. Hierliegt aber offenbar Knickung vor. (3.72) ist auch aufeine Wand anwendbar mit einer Spannweite l ~ r. Bei4a.Ed 3 bj? > prb, also p > PK = Ed 3 1,3 tritt Knickungein. Mit d = 5 mm folgt PK = 0,1 bar. Fast d = 5 cm wärenötig gewesen. Die Grenze zwischen Knicken und Zerquetsehenliegt bei PK = PF, also um dir= .JU!E, für Stahl umd ~ r/20.3.4.11. TiefseebootIn 12 km Tiefe herrschen 1 200 bar. Nach p F = a Fd Ir undCJF = 5 · 10 8 Njm 2 erfordert das d = 20cm bei r =1m.Knickung ist dann laut Aufgabe 3.4.10 nicht zu befürchten.Ein solcher Zylinder aus Stahl hätte dann mehr Gewichtals Auftrieb (Verhältnis beider ist 2dQFef(rQw )), das Auftauchenwürde besondere Vorrichtungen erfordern. Titan hat nur4 510 kg/m3 und ist ebenso fest.3.4.12. Das stabile EiVergleichen wir den Kalk der Schale mit Beton (Tabelle 3.3;kein DDT-geschwächtes Ei!), folgt mit d = 0,5 mm,r = 30mm etwa PD= 10bar, PK = 2bar. Jede Handflächeübt einen ziemlich gleichmäßigen Druck auf fast die halbeEioberfläche von knapp 50 cm 2 aus und dürfte demnachmit annähernd 1000 N drücken.4.1.1. KoloraturbaßEin kurzer Staccatoton von der Dauer T hat ein Frequenzbandvon der Breite f1v ~ liT als Spektrum. Man machtsich das am einfachsten so klar: In der Zeit T treffen beieinem Ton, der "eigentlich" die Frequenz v hat, n = vTBerge unser Ohr, z. B. bei T = 0,2 s und v = 100Hzn = 20. Ebensoviele Berge treffen aber auch bei 104Hzein. Die um f1v = liT verschiedenen Töne sind also in dieserkurzen Zeit nicht unterscheidbar. Je tiefer ein Ton ist,desto länger muß er andauern, damit er die vorgeschriebeneReinheit f1v lv hat. Damit ein 100Hz-Ton überhaupt aufeinen Viertelton genau definiert ist, d. h. damit man sagenkann, ob es E oder F sein soll, muß er f1v = 0,055 ·100Hz = 5,5 Hz haben, also mindestens 0,2 s dauern. Eingutes Ohr fordert mehr als doppelte Reinheit. Selbst der sichersteBassist kann also keine Melodie rein singen, in derdie Töne viel kürzer als :i s dauern.4.1.2. ObertöneAbbildung 4.10 läßt sich als das Auslenkungsbild einer inder Mitte angezupften Saite auffassen, wenn man an dieAbszissenachse x, an die Ordinate y schreibt und nur das