Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 12: Lösungen 1127Verbreiterung kann beim Mößbauer-Effekt durch besondereTricks vermieden werden.12.2.1. StrahlungsdämpfungDie klassische Elektrodynamik zeigt, daß eine schwingendeLadung eine Leistung P:::::; e 2 w 4 a 2 e0 1 c- 3 abstrahlt(Abschn. 7.6.6). Diese Verlustrate ist immer proportionalzur jeweils vorhandenen Energie W = !mw 2 a 2 . Demnachklingt die Energie des Schwingers exponentiell mit der Zeitkonstante' = W I P :::::; meoc 3 e- 2 w- 2 ab, die Amplitudeebenfalls, nur mit einer doppelt so großen Zeitkonstante(W ~ a2). Die Schwingung folgt also der üblichen Darstellungder gedämpften Schwingung (Abschn. 4.1.2).12.2.2. Doppler-BreiteWenn ein Atom beim Strahlen mit der Geschwindigkeit vauf den Beobachter zu- oder von ihm wegfliegt, ist seineFrequenz relativ um v I c verschoben. Im heißen Gas kommenalle Werte der Radialgeschwindigkeit vor; die Breite derGlockenkurve um v = 0 ist v = }3kT m. So ergibt sich ·die Doppler-Linienbreite !l.vlv:::::; 3kTI(mc2 ) (Wurzel austhermischer Energie/Massenenergie des Atoms). Mit mc 2 =einige Ge V und I e V ~ 10 4 K erhält man sofort z. B. für dieDoppler-Breite der Sonnenlinien !l.vlv:::::; w- 4 -10-5 . Schonbei 1 K ist die Doppler-Breite i. allg. größer als die natürlicheBreite. Die Druckverbreiterung rührt her vom Abschneidender kohärenten Emissions-Wellenzüge durch Stoß mit einemanderen Teilchen. Die Linienbreite !l.w ist gleich der Stoßfrequenzvll = vnA:::::; J3kT lmnA. Sie verhält sich zurDoppler- Breite wie cnAiw oder wie die Lichtwellenlängezur mittleren freien Weglänge. Unterhalb von 1 bar Gasdrucküberwiegt daher i. allg. die Doppler-Breite, oberhalb dieDruckbreite.12.2.3. LeuchtdauerMan verwendet ein sehr enges Loch in der Kathode undpumpt dahinter stark ab, damit dort keine Neuanregung erfolgt.H-Ionen, die nahe der Anode entstanden sind unddann stoßfrei fast bis zur Kathode kommen, wo sie einElektron einfangen, haben die volle der Anodenspannungents rechende 30 ke V-Energie. Sie fliegen mit v =2eU /m = 2,5 · 10 6 m/s. Die Abklingzeit entspricht 1 cmFlugweg, ist also 4 · w- 9 s. In Wirklichkeit haben diemeisten H-Atome nicht die vollen 30keV, und die Lebensdauerist etwas größer.12.2.4. AnregungsfrequenzWir betrachten z. B. einen "grünen" Übergang (500 nm), dereiner Energie von W = 2,5 e V entspricht. Das sind 30kT bei1 000 K, 15kT bei 2 000 K, 5kT bei 6 000 K. Der Bruchteilangeregter Atome ist n* lno = e-W /(kT), also 10-13 ,3 · 10- 7 bzw. 7 · 10-3• Bei der Lebensdauer des angeregtenZustandes von w- 8 s muß jedes Atom dann alle 105,3 · w- 2 , w-6 Sekunden angeregt werden und wieder emittieren.Ein Elektronenumlauf im Rutherford-Bohr-Modelldauert etwa w- 15 s. Es ist also, als würde z. B. die Erdealle 10 20 , 3 · 10 13 bzw. 10 9 Jahre in die Marsbahn geschleudertund käme nach etwa 10 7 Jahren wieder herunter. Wirkönnen nur sagen, daß so etwas die letzten 5 · 10 9 Jahremit Sicherheit nicht passiert ist, daß aber, wenn man die Entstehungder Erde als noch größeres Ereignis ansieht, selbst imHochofen noch wesentlich weniger los ist als im Sonnensystem.Man beachte: Diese Betrachtung beweist nichtetwa, daß die Strahlungsleistung eines makroskopischenKörpers entgegen dem Stefan-Boltzmann-Gesetz wiee-W/(kT) mit T anstiege. Das Wechselspiel von Ernissionund Reabsorption für die vielen Frequenzen, deren einschwarzer Körper fähig ist, führt nach der Einsteinsehen Ableitungauch im atomaren Bild zur Planck-Kurve und damitzu Stefan-Boltzmann.12.2.5. LinienbreiteAußer dem Energiesatz müßte auch der Impulssatz erfülltsein. Das Photon hat die Energie W = hv und den Impulsp = hl A, = W I c, wie jedes hochrelativistische Teilchen. Eskann also keinen Photon-Atom-Stoß geben, bei dem die ganzePhotonenenergie in kinetische Energie des Atoms überginge(keinen elastischen Stoß), denn dazu müßte das Atomebenfalls genau mit c davonfliegen, wozu die Photonenenergienatürlich nicht reicht. Nun möge eine AnregungsenergieW' etwas tiefer als W liegen. Die DifferenzW - W' soll in kinetische Energie übergehen: W - W' =! mv 2 . Gleichzeitig lautet der Impulssatz W I c = mv. Esfolgt W- W' =! W 2 l(mc 2 ). Da mc 2 , die Ruhenergi~ desAtoms, einige Ge V beträgt, erlaubt dies bei optischen Ubergängen(einige eV) nur relative Abweichungen von etwaw-9 von der scharfen Übergangsenergie. Übrigens entsprichtdies genau der Doppler-Verstimmung: W - W' =h(v- v') = hv'vlc = Wvlc = W 2 l(mc2 ). Es ist hier wieoft schwer, Ursache und Wirkung zu trennen: Kann dasAtom unscharf absorbieren, weil es sich bewegt, oder bewegtes sich, weil es absorbiert hat? Wohl aber kann dasAtom dem Photon einen Teil von dessen Energie entziehen,der gerade einem bestimmten Übergang entspricht.Das Photon fliegt dann mit veränderter Frequenz weiter:Raman-Effekt.12.2.6. Spontane Elektronenemission?Spontane Ernission eines Elektrons aus einem Atom wäreenergetisch u. U. möglich, indem z. B. zwei gleichzeitig bestehendeAnregungszustände ihre Energien auf ein Elektronvereinigen, oder indem ein energiereicher Übergang in einerinneren Schale unter Vermittlung durch ein Röntgen-Photoneines oder mehrere Außenelektronen abreißt (innere Konversionvon Röntgenstrahlung, Auger-Effekt). Mehrfachanregungist aber selbst bei Sonnentemperatur äußerst unwahrscheinlich(vgl. Aufgabe 12.2.4), und die Energieübertragungvon einer oder mehreren Anregungsenergien wirdüblicherweise durch Emission und Reabsorption eines Photonsbeschrieben, nicht aber als völlig "spontane" Elektronenemission.Man bedenke, daß die moderne Theorieüberhaupt jede Coulomb-Wechselwirkung durch Photonenaustauschbeschreibt.