Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1072 Lösungen zu den Aufgabenvon dort eine Vertikale nach oben. Die schräge Gerade trenntdie Bereiche von Salzlösung (oben) und Eis + gesättigterLösung, die Vertikale trennt die Salzlösung von Salzkristallen+ Lösung. Im Punkt (350, -22,2), dem eutektischenPunkt, koexistieren Eis- und Salzkristalle. Der Kühlakku enthälteine Lösung eutektischer Zusammensetzung (mit anderemSalz). Im Tiefkühlfach erstarrt sie beim eutektischenPunkt und kann dann im Freien die zum Auftauen pluszur Erwärmung nötige Energie aufnehmen. Streut manSalz in ein Eis-Wasser-Gemisch, sinkt der Gefrierpunkt, etwasEis taut auf, kühlt dabei das Gemisch, usw. bis zumPunkt auf der schrägen Koexistenzlinie, der der gewähltenSalzkonzentration entspricht.5.7.11. TrockenfeldbauIn einer engen benetzten Kapillare vom Radius r, eingetauchtin Wasser, würde dieses um h = 2CJ I (rgQw) hochsteigen.Bringt man Dampf von der Wasseroberfläche dort obenhin, nimmt sein Druck 'Um Ap = Q 0 gh = 2(J(!ol (rQw) ab.Er muß dort oben aber mit dem gleichen Druck ankommenwie der Dampf in der Kapillare, sonst gäbe es kein Gleichgewicht.Der Sättigungsdampfdruck in der Kapillare ist alsogerade um Ap geringer. Das liegt an der konkaven Oberfläche,die den Eintritt von Dampfmolekülen ins Flüssige begünstigt.Bei r = 0,1 J.lm ist Ap = 15 mbar. Bei 20 °C sinddas 64% vom üblichen Dampfdruck (23,3 mbar), also kondensiertdas Wasser in so engen Kapillaren schon bei 36 %Luftfeuchte.5.8.1. Radiometer ISiehe Lösung 5.8.2.5.8.2. Radiometer IIBei einseitiger wie bei allseitiger Beleuchtung werden dieberußten Flächen wärmer als die anderen, ebenso auch inder Wärmestrahlung der wärmeren Umgebung. Ein Luftmolekül,das von einer festen Oberfläche zurückprallt, hat eineGeschwindigkeit angenommen, die der Temperatur dieserFläche entspricht. Bei normaler Gasdichte wirkt sich dasso aus, daß das Gas über der warmen Fläche zwar wärmer,aber entsprechend der Zustandsgleichung auch wenigerdicht ist: Der Druck gleicht sich aus, die Kräfte auf gleichgroße warme und kühle Flächen sind gleich. Im "Knudsen-Gas",wo die mittlere freie Weglänge l größer ist alsdie Gefäßabmessungen d, tauschen die Moleküle miteinanderpraktisch nicht mehr Energie oder Impuls aus, sondernnur noch mit den Wänden. Dann tritt kein automatischerDruckausgleich ein. Die Gasdichte ist eine Frage der zufälligenVerteilung der Molekülbahnen, d. h. im wesentlichenüberall gleich. Wo das Gas um AT wärmer ist, überträgtes einen größeren Impuls pro Zeit- und FlächeneinheitSein Druck ist p=po(1+ATIT). Bei10- 3 mbar undAT = 30 K wirkt auf 1 cm2 immerhin eine resultierendeKraft von 10-6 N. Dieser Radiometereffekt kann erst einsetzen,wenn l ~ d, d. h. um w- 2 bis w-3 mbar. Bei weitererEvakuierung nehmen die übertragenen Kräfte proportionalzum Gesamtdruck ab. Daß der eigentliche Strahlungsdruckkaum eine Rolle spielt, zeigt sich schon daran, daß sichdas Schäufelchen auch bei allseitiger Beleuchtung fastebensoschnell dreht. Könnte man das Kollodiumhäutcheneinseitig schwärzen, dann wäre es damit ähnlich. Der elektromagnetischeStrahlungsdruck ist PStr = I I c (!: Intensität),also PStr = 1 kWm- 2 13 · 10 8 ms- 1 = 3 · 10- 6 Nlm 2 =3 · 10- 11 bar, d. h. etwa drei Größenordnungen kleiner alsder Radiometer-Druck.5.8.3. Sinkt Schweres immer abwärts?Offenbar ist die Mischungsentropie von 0 2 und N2 , multipliziertmit T, größer als die Energie, die man bei Trennung inSchichten gewinnen würde. Wir schätzen beide ab, zunächstfür die fiktive homogene und isotherme Atmosphäre derHöhe H = 8 km. Der Zustand "Unten Sauerstoff, DichteQo = l ,43, ho = 2 km dick, oben Stickstoff, QN = l ,25,hN = 6 km dick" hat für eine Bodenfläche A die EnergieW1 = gA[!QohÖ + QN(ho + !hN)hN], der durchmischte Zustandhat W2 = !gAH(Q0ho + QNhN)· Die Differenz istA W = ! gAhohN (Qo - QN). Die Entropiedifferenz ergibtsich am einfachsten direkt aus der Planck-FormelS = k In P. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein bestimmtes02-Molekül in der Schicht ho ist (statt irgendwo in H) isthoiH, daß alle No 02-Moleküle in ho sind, (h9viH)N°. Entsprechendfür N2, also im ganzen P 1 = (hoiH) 0 (hNIH)NN,S1 = k(No ln(hoiH) + NN ln(hNIH)). P2 ist praktisch 1,also AS = S 1. Über 1 m 2 Erdoberfläche stehen l 0 4 kg, d. h.3,4 · 10 5 mol Luft. Damit ergibt sich AW lA ~1,4 · 10 7 Jlm 2 , T ASIA ~ 4 · 10 8 Jlm 2 . Der Entropieanteilist viel größer. 02 und N2 würden sich erst bei T ~ 10 Kentmischen, wo beide längst flüssig sind. Für H2 und Luftist A W etwa siebenmal größer (QL - QH ~ Qd, AS bei gleichemmolaren Mischungsverhältnis etwa ebensogroß. Selbstdiese Gase entmischen sich also im Erdschwerefeld nicht.Die genauere Betrachtung muß die Boltzmann-Verteilungendes Gemisches bzw. beider Komponenten einzeln berücksichtigen.Sie führt qualitativ zum gleichen Ergebnis.5.8.4. McLeod-VakuummesserGewöhnlich legt man die Kapillare in mehreren Stufen an.Jede hat fo des Querschnitts der vorigen. Für einen Meßbereichvon 10- 1 bis w- 6 Torr z. B. nimmt man 4 Stufen, je2 cm lang, mit den Durchmessern 1 000, 320, 100, 32 J.lmund ein Vorratsgefäß von 160cm3 (6,8cm Durchmesser).Um die Messung einzuleiten, erlaubt man dem äußeren Luftdruck,eine Hg-Säule in das Vorratsgefäß hineinzuschieben,wobei sie zuerst die Verbindung mit dem ausgepumpten Volumenunterbricht. Die Restluft wird dann bis zur Druckgleichheitin die Kapillare hineingedrückt. Nach der Messungmuß das Hg wieder in die Normalstellung zurückgesaugtwerden. Bei den meisten Systemen können alle dieseOperationen durch die sukzessiven Stellungen eines einzigenHahnes bewerkstelligt werden (Kipp-McLeod). Man beachteaber, daß das Hg bei den angegebenen Maßen über 2 kg hat.