Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel s: Lösungen 1063sind. Sie diffundieren nur langsam ineinander. Die Poren imTon haben aber z. T. Abmessungen, die kleiner sind als diefreie Weglänge. Durch solche Poren strömt das Gas nichtmehr nach Torricelli als Kontinuum, sondern die Moleküleverhalten sich als unabhängige Teilchen, die entweder denLochquerschnitt treffen und durchkommen oder nicht. Inder Sekunde kommen also nAv Moleküle durch, wov = .j3kT Im die mittlere Molekülgeschwindigkeit ist(Knudsen-Strömung). Auch bei beiderseits gleichemDruck, d. h. gleichem n, treten dann von der Seite, wo dieMoleküle leichter, d. h. schneller sind, mehr Teilchendurch. Wenn der H2-Partialdruck im Tongefäß ebensogroßgeworden ist wie draußen, geht der Überdruck natürlich zurück.Hört man mit dem H2-Bespülen auf, entweicht das H2aus dem Gefäß und läßt vorübergehend einen Unterdruckzurück.5.4.7. Nackt und pudelwohlDie nackte Haut verliert im wesentlichen Strahlungswärme.Wenn man sie als "schwarzen Körper" betrachtet undA =2m2 Körperoberfläche annimmt, ist die AbstrahlungsleistungIXA !J.T.Der menschliche Stoffwechsel liefertetwa P ;::;; 100 W ( Stoffwechselumsatz ;::;; 2 000 kcaVd). DieBilanz ist ausgeglichen bei !J.T ;::;; PI ( IXA) ;::;; 8 K, was29 °C entspricht. In Wirklichkeit ist der Stoffwechsel im wachenZustand wesentlich aktiver als im Schlaf, man hält esdaher auch bei 25 °C gut aus, friert aber, wenn man einschläft.Der bekleidete Mensch verliert Wärme nicht mehrdurch Strahlung, sondern durch Leitung, und zwar wirktgute Wollkleidung im wesentlichen als ein Luftpolster, indem die Konvektion ausgeschlossen ist. Die Wärmeverlustleistungdes Menschen muß wieder auf P = 100 W gehaltenwerden. Da P = AA !J.T I d (A ;::;; 2m2 Körperoberfläche,2 = 0,025 W/m K Wärmeleitfähigkeit der Luft), muß dieDicke der Kleidung d ;::;; }.A !J.T I p ;::;; 5 . 10-4 !J.T sein, z. B.I cm bei 17 °C, 2 cm bei -3 °C, 3 cm bei -23 °C. Wennder Mensch schwitzt, nutzt er die Verdampfungswärme desWassers von 2,3 · 10 6 J/kg aus. Um die 10 7 J/Tag seinesStoffwechsels bei 37 °C Außentemperatur abzuführen,muß er etwa 4l!Tag schwitzen. Dann kann nämlich auchder nackte Mensch keine Wärme durch Strahlung abgeben.Bei 32 oc ist die Schweißmenge halbsogroß, bei 27 oc genügtdie Abstrahlung. Bei 37 °C übersteht der Mensch ohneFlüssigkeitsaufnahme kaum 24 h, selbst im Schatten ohneBewegung.5.4.8. Brrr . ..Wir frieren, wenn wir zuviel Wärme durch die Haut verlieren.Auch unbekleidete Hautstellen sind immer durch einePrandtl-Grenzschicht geschützt, die an der Strömung imWind nicht teilnimmt, allerdings mit zunehmender Windgeschwindikeit immer dünner wird. Ihre Dicke istd;::;; 617ll(gv). Der Wärmeverlust erfolgt durch Wärmeleitungdurch die Prandtl-Schicht mit einer Wärmestromdichtej = }, !J.T I d. Der obige Ausdruck fürdergibt j ~ !J.tVIJ. Wirvergleichen stille Luft, durch die ein Mensch mit v ;::;; 2 rn/sgeht, und einen Sturm von 30 rn/s. Im Sturm ist ViJ etwaviermal so groß, also darf bei Windstille !J.T viermal sogroß sein, damit der Mensch ebenso friert. Wenn die Hautoberfläche37 °C hätte, ergäbe dies Äquivalenz zwischenstiller Luft von -20 °C und Sturm bei +23 °C. Die Hautist aber wesentlich kühler als das Körperinnere. Der Temperaturabfallvon 37 °C auf die Außentemperatur verteilt sichim Verhältnis der Wärmewiderstände dl 2 auf Hautschichtund Prandtl-Schicht. Fettgewebe hat etwa die zehnfacheWärmeleitfähigkeit der Luft. Dies gilt für Gewebeteile, denenkeine Wärme zugeführt wird (keine Durchblutung)und in denen auch keine entsteht (kein Stoffwechsel). DieHaut kann annähernd 0 °C annehmen, bevor Erfrierungeneintreten. Unter solchen Umständen sind -20 °C bei Windstilleäquivalent mit -5 °C bei Sturm. Die Unterkühlung istnatürlich um so stärker, je dünner die Prandtl-Schicht ist, d. h.je größer v und je kleiner die Abmessung l des Körperteils ist.Nase, Finger, Zehen und Ohren erfrieren zuerst, außer denwinzigen Plattnäschen der Eskimos und Nordasiaten.5.4.9. Rayleigh-KonvektionEin zufällig um dy aufsteigendes Fluidpaket gerät in eine umlgradTidy kühlere, also um ßelgradTidy dichtere Umgebung(ß = dg I (g dT)) und erfährt also den AuftriebFA= gVdg = 17rr3 ßgg gradTdy(wir denken an ein kugelförmiges Paket). Diesem Auftriebwirkt die Stokes-Reibung F'l = 67rfJrV entgegen, und ausdem Gleichgewicht FA= F'1 ergibt sich eine Aufwärtsgeschwindigkeitv = 2r 2 gße grad T dy I (91'/ ). Der Aufstiegum dy, der ja wegen v ~ dy erst am Schluß so schnell' erfolgt,dauert eine Zeit fA;::;; 2dylv = 91JI(r 2 gßg gradT).All dies stimmt aber nur, wenn sich unser Paket in derZeit tA nicht durch Wärmeleitung seiner Umgebung angeglichenhat. Dies würde eine Zeit r;::;; r 2 eci(3Jc) dauern(vgl. (5.53)). Nur bei fA < '!', also r 4 g 2 cgß grad TI(IJ},) > 27 tritt daher die geschilderte Instabilität auf. DieTendenz dazu ist für große Pakete sehr viel stärker (r 4 ),aber kleiner als die Fluidschichtdicke d muß das Paketjedenfalls sein, sagen wir höchstens r;::;; dl3. So ergibtsich die Instabilitätsbedingung d 3 r/cgß!J.TI(1'J2) > 2000(grad T = !J.T I d). Die dimensionslose Zahllinks heißt Rayleigh-Zahl,ihr kritischer Wert liegt bei gerrauerer Betrachtungum 1700. Die Benard-Zellen (Abb. 5.39) sind keineRayleigh-Instabilitäten, sondern werden durch die OberflächenspannungCJ mitbestimmt. Hier tritt anstelle der Rayleigh-Zahldie Marangoni-Zahl, in der dCJ I dT anstelle vond2gdgldT tritt. Vergleich der Zahlenwerte und der d-Abhängigkeitenzeigt, daß die Zellenstruktur in sehr flachen,die Rayleigh-Struktur (Aufquellen bzw. Absinken in ungefährkonzentrischen breiten Ringen) in tieferen Töpfen vorherrscht.5.4.10. Schlaues HuhnWenn die Luft kälter wird, muß der Hahn den Haufen verstärken,damit mehr Fäulniswärme darin erzeugt wird unddie erzeugte Wärme schwerer abströmt. In einer Teilkugelvom Radius r wird dann die Wärmeleistung P = 11r-r 3 q er-