Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel 7: Lösungen 1091Luftspalt mit der Spule darin, den das Feld zu durchsetzenhat, ist schmäler, als wenn die Spalte vor den Polschuhenstehen. Dreht sich dann die Eisentrommel um 90°, so wirddas B-Feld durch die seitlich stehenden Eisenstege kurzgeschlossen,und durch die Spule treten kaum noch Feldlinien.Diese B-Änderung induziert in der Spule eine Spannung,deren Frequenz doppelt so groß ist wie die Drehfrequenzder Trommel: Jeder Schlitz entspricht einem Minimumdes Magnetflusses. Die Amplitude der Spannung istetwa NABw (N, A Windungszahl und Windungsfläche derSpule, B Maximalfeld, Bl2 Feldamplitude).7.5.21. SpaltpolmotorDer Wechselfluß in K erzeugt in 01 und 02 Wirbelströme,deren Magnetfeld sich dem Feld aus K überlagert und diesesgegenüber dem ungestörten Feld phasenverschiebt Dadurchentstehen effektiv zwei Paare von Magnetpolen, die insgesamtein magnetisches Drehfeld erzeugen. Dieses nimmt denRotor mit wie beim Asynchronmotor.7.5.22. AsynchronmotorDie Leerlaufdrehfrequenz 730 U/min läßt auf vier Polpaareschließen; das Drehfeld rotiert dann mit 750U/min, Lagerreibungund Luftwiderstand bedingen einen Schlupf vonknapp 3 %. Bei 1 500 Nm liegt das Kippmoment f/> 2 I L, dieKippdrehzahl ist w1 =wo- RIL = 570U/min, worausfolgt RIL = 18,85 s- 1 . Daraus kann man das Anlaufmomenterschließen: To = f/> 2 IL · woi(RIL + w6LIR) =340 Nm. Ein Zusatzwiderstand R', über die Schleifringe inReihe zum Kurzschlußläuferwiderstand gelegt, senkt dieKippfrequenz und steigert zunächst das Anlaufmoment,solange noch (R + R') I L < w6 ist. R und L lassen sich ausden Angaben nicht getrennt bestimmen.7.6.1. SkineffektJe kleiner der spezifische Widerstand, desto dünner ist dieleitende Schicht beim Skineffekt. Silber und Kupfer habenbei Zimmertemperatur und Netzfrequenz (w = 300 s- 1 )etwa d = 6 mm: Nur fingerdicke Leiter zeigen merklicheStromverdrängung. Bei sehr tiefen Temperaturen nimmtder Widerstand von sehr reinem Kupfer um fast drei Zehnerpotenzenab, d. h. d wird dann etwa 0,2 mm. Bei Supraleiternkann d sogar bis auf einige Ä abnehmen. Ein Draht vom Radiusr leitet bei der Frequenz w nur noch mit seiner Mantelfläche2nrd, falls d « r. Sein Widerstand nimmt also um denFaktor nr 2 /(2nrd) = r/(2d) zu. Beim Tesla-Trafo mitv = 4,5 · 10 6 Hz, w = 3 · 10 7 s- 1 , r = 1 mm wird dieserFaktor etwa 30.7.6.2. Bewegt sie sich doch?· Aus dem ganzen System (Hohlkugel + eingeschlosseneLadung Q) muß der elektrische Feldfluß if> = Qj eo treten.Ist dieses Feld kugelsymmetrisch, und wenn ja, wo liegtsein Mittelpunkt? Die Meßfläche verlaufe ganz im Metallder Hohlkugel. Dort, wie in jedem Metallkörper, herrschtkein elektrisches Feld, sonst träte sofort eine Ladungsverschiebungein, die das Feld vernichtete. Der Fluß durchdie Meßfläche ist also Null: Auf der Innenseite der Kugelist die Ladung -Q influenziert und verschiebt sich bei Bewegungder eingeschlossenen Ladung so, daß sie das Feldim Metall zum Erliegen bringt. Da die Hohlkugel nachwie vor im Ganzen neutral ist, sitzt außen eine GegenladungQ. Wie ist sie verteilt? Von innen, vom Metall der Hohlkugel,spürt sie kein Feld, also verteilt sie sich wie jede Ladung aufeiner Metallkugel: gleichmäßig. Von außen sieht man einemit Q gleichmäßig geladene Kugel, dort herrscht ein kugelsymmetrischesFeld mit dem Mittelpunkt im Kugelzentrum,unabhängig von Lage oder Bewegung der eingeschlossenenLadung. Da E zeitlich konstant ist, gibt es bestimmt kein"induziertes" B-Feld. Aber die bewegte eingeschlossene LadungQ bedeutet doch ein Stromelement Wird dessen Wirkungnach außen "zufällig" durch die entsprechende Verschiebungder influenzierten Ladungen auf der Kugelinnenseiteausgeglichen? Daß dies tatsächlich eintritt, zeigen dieMaxwell-Gleichungen: rot H = iJ + j. Außen sind jaj undiJ sicher Null, also ist H wirbelfrei. Quellenfrei ist jedes Magnetfeldsowieso, und ein quellen- und wirbelfreies Feld istentweder homogen (unmöglich, da es in unendlicher Entfernungverschwindet), oder Null. Kann die influenzierte Ladungauch sehr schnellen Bewegungen der eingeschlossenenLadung perfekt folgen? Das wäre nur bei wesentlicherVerschiebung innerhalb der Relaxationszeit -r = eo/a nichtmehr der Fall. Bei jedem Metall ist aber r höchstens vonder Größenordnung 10-16 s, und in dieser Zeit sind selbstmit Lichtgeschwindigkeit Verschiebungen nur um atomareEntfernungen möglich.7.6.3. VektorpotentialMan braucht nur folgende rein mathematische Tatsachen:Jedes Vektorfeld ist (quellenfreies) Wirbelfeld + (wirbelfreies)Quellenfeld; ein grad -Feld ist wirbelfrei, ein rot­Feld quellenfrei: divrot a = 0, rot gradb = 0. Demnachsind die Wirbelfreiheit von E und die Quellenfreiheit vonB, d. h. div B = 0 automatisch gesichert durchE = -grad rp und B = rot A (A: Vektorpotential). Wenn Bsich ändert, ist E nicht mehr wirbelfrei (rot E = -B), alsonicht mehr allein als grad rp darstellbar. Die ErweiterungE = - grad rp - Ä erfüllt automatisch rot E = -rot Ä =-B. rp und A haben im ganzen vier Komponenten, sindalso einfacher als die sechs Komponenten von E und B. rpist nur bis auf eine additive Konstante, A nur bis aufgrad ljJ festgelegt, denn rot grad ljJ = 0, d. h. Zufügung vongrad ljJ mit beliebigem zeitunabhängigen ljJ beeinflußt wederE noch B. Mit anderen Worten: A = Wirbelfeld+Quellenfeld, wobei B nur durch das Wirbelfeld bestimmtist, das Quellenfeld und seine Quellendichte div Abeliebig festgelegt werden können. Es wird JLoiOt H =J!orot rot A = -11 0M + J!ograd div A = Jloi- Jloeograd (p-JLoeoÄ, d.h. mit Jloeo = llc 2 und divA = -iplc 2(Lorentz-Konvention): M-Ä / c 2 = - Jloi Andererseitsdiv D = eo div E = -eo ( div Ä + l!.rp) = Q, mit der Lorentz­Konvention l!.rp- ifJic 2 = -Q/eo. Ohne Ladungen undStröme folgen A und rp der Wellengleichung, im statischenFall folgt die Poisson-Gieichung.