Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1142 , Lösungen zu den AufgabenKräfte liefert p = evB I a2, und Benutzung von v aus der erstenBeziehung ergibt p rv 4wHB. Bis auf einen Zahlenfaktorist der magnetische Druck gleich der magnetischen Energiedichte(Jim3 = Nlm 2 ). Mit H = 10 7 Alm, d.h. B ~10 Vslm 2 erhält man p ~ 109 Nlm 2 = 10 4 bar. Man könnteso ein vollionisiertes Deuteriumplasma von 108 K magnetischeinsperren, ohne daß es zu katastrophaler Wandberührungkommt, falls seine Dichte kleiner als 10- 6 glcm 3 ist(technisch experimentiert man z. Z. mit sehr viel geringerenDichten n ~ 10 16 cm- 3 , weil jede magnetische Flasche undichtist). Bei dieser Dichte, d. h. n ~ 10 18 Teilchenlcm3,wäre die freie Weglänge für Stöße mit dem geometrischenKernquerschnitt von 10- 25 cm 2 etwa l = ll(na) ~ 10 7 cm.Bei 108 K fliegen die Deuteronen mit etwa 108 crnls, treffenalso nur zehnmal in der Sekunde einen anderen Kern. Beidieser Geschwindigkeit ist die de Broglie-Wellenlänge desDeuterons ), = hl(mv) ~ 2 · 10- 11 cm. Das Deuteron pralltalso nicht, wie es klassisch müßte, dort vom Potentialwalldes anderen Deuterons ab, wo dessen Höhe kT ~ 10 ke Vbeträgt, also bei etwa 10-11 cm, sondern dringt mit etwa10% Wahrscheinlichkeit ein. Es erfolgen also etwa 10 18Fusionsakte/(cm 3 s), die etwa 3 · 10 18 MeV l(cm3 s) ~3 · 10 5 W I cm 3 erzeugen. Bei den tatsächlich benutzten Dichtenvon n ~ 10 16 cm-3 ergeben sich nur 30W/cm3 (auch dieStoßzahl wird hundertmal kleiner!), und ein 1 MW-Reaktormüßte so groß sein wie ein Fäßchen. Um das nötige Magnetfeldin diesem Volumen aufrechtzuerhalten, braucht man einigeMillionen Ampere.13.1.14. Nukleonen-MikroskopWill man das Innere des Nukleons, also Einzelheiten von10-15 mundweniger sehen, dann muß die deBroglie-Wellenlängedes abbildenden Teilchens kleiner sein als dieseLänge, also sein Impuls p = hl}. > 6 · 10- 19 kg rnls. FürElektronen mit diesem Impuls gilt der relativistische Energiesatz:W = pc > 2 · 10-10 J ~ l,2GeV. Für Nukleonenliegt diese Energie gerade am Übergang zum relativistischenBereich, m. a. W.: Um in ein Teilchen einzudringen, muß manmehr Energie haben als seine eigene Ruhenergie. Bei wesentlichhöherer Energie hängen p und A und damit das Auflösungsvermögennur noch von der Energie, nicht mehr vonder Teilchenart ab. Elektronen, die der starken Wechselwirkungnicht unterliegen, haben ein einfacher durchschaubaresVerhalten in den Feldern des Kern- und Nukleoneninnem.13.1.15. Die größte KraftEin unendlich hartes, aber nicht punktförrniges Teilchen verstießegegen die Relativitätstheorie: Unendliche Härte, d. h.unendlich großer Elastizitätsmodul bei endlicher Dichte würdeunendlich große Schallgeschwindigkeit bedeuten. Dergrößtmögliche Elastizitätsmodul ergibt sich daraus, daßdie Schallgeschwindigkeit c ist: c = VEJQ, also E = (}c 2 .Dies ergibt, auf den Querschnitt des Nukleons wr6 ~5 · w-30 m 2 bezogen, eine Kraft F ::::::! wr6(}c 2 ~ mc 2 I r0 ~105 N, d. h. man brauchte 10 t, um so ein winziges Dingzu zerquetschen. Der E-Modul wird 10 34 Nlm 2 , denn(} ~ 10 17 kglm 3 . Ein entsprechender Druck würde im Innerneines Sterns von etwas mehr als Sonnenmasse herrschen(M ~ 10 31 kg), wenn sein Radius nur einige km betrüge:p ~ GM 2 I R 4 ~ (}c 2 . Wenn der Stern alle Möglichkeitender Kernenergiegewinnung ausgeschöpft hat, also keinenthermischen oder Strahlungs-Gegendruck mehr ausübenkann, läßt ihn die Gravitation tatsächlich so zusammenschrumpfen.Er hat dann die Dichte des Nukleons (Riesenkernaus dichtgepackten Nukleonen). Schreibt manp ~ GM I R3 · MIR ~ G(}M IR, dann entpuppt sich die Bedingungfür den Schweredruck, dem die Nukleonen geradenoch standhalten, nämlich p ~ GQM IR ~ (}c 2 , als äquivalentzu der Bedingung für die Bildung eines Schwarzen Loches(vgl. Abschn. 15.4.4), von dem nicht einmal das Lichtwegkann: GM IR = c 2 . Im Schwarzen Loch werden also sogardie Nukleonen zu Brei zerquetscht.13.1.16. NochmalSherlock HolmesHolmes setzt offenbar einen Reaktor voraus, der annähernddie gleiche Energie liefert, wie sie der Erde von der Sonnezugestrahlt wird. Da die Sonne f breit erscheint (der Daumendeckt sie viermal), ist ihr Radius 2~0 des Erdbahnradius.1 km 2 Erdoberfläche bezieht also seine Energie aus einerPyramide von etwa 4 m Basis-Seitenlänge und annähernddem 1 OOfachen Erdradius als Höhe. Der Reaktor, der denkm 2 versorgen sollte, müßte also, selbst wenn er den ganzenkm2 bedeckt, 10012402 Erdradien oder 10km hoch sein. EinzigerAusweg für den Fusionsreaktor ist erhebliche Steigerungder Reaktionstemperatur über die im Sonneninnern.13.1.17. NeutronendiffusionIm Reaktor-Core sind Quell- und Senkendichte der Neutronenproportional zur Anzahldichte n der Neutronen. Je mehrNeutronen vorhanden sind, desto mehr werden eingefangen:Senkendichte -kn; desto häufiger sind aber auch Spaltungsakte,die neue Neutronen erzeugen: Quelldichte k'n. Die Gesamtquelldichteist k*n = (k'- k)n. Bei k' > k wäre der Reaktorbei unendlicher Ausdehnung überkritisch (explosiv),bei k! = k kritisch, bei k' < k unterkritisch. In Wirklichkeitist er räumlich begrenzt, die Neutronen diffundieren nachdraußen mit einer Teilchenstromdichte j = -D gradn, waseine Teilchenverlustdichte n = div j = -D !J.n bedingt, dieim stationären Zustand durch die Quelldichte ausgeglichenwird: D!J.n = -k*n (!J. ist hier der Laplace-Operator). Genaudieselbe Differentialgleichung ergibt sich aus der Wellengleichung,wenn man nur die Ortsabhängigkeit der Amplitudea betrachtet und die Zeitabhängigkeit wegsepariert:!J.u = -c- 2 ü, Ansatz u(r, t) = a(r)b(t), also b = -Ab, d. h.b = bo e 1 w 1 und !J.a = -w c 2a. Lösung beider Gleichungenbei gegebenen Randbedingungen ist ein Eigenwertproblem.Wenn z. B. am Rand die Amplitude a verschwindensoll, liefert die Wellengleichung die Eigenschwingungen eines"fest eingespannten" Hohlraums. Für ein Quadervolumenläßt sich die Lösung für Wellengleichung und Neutronendiffusionaus Sinusfunktionen zusammensetzen, für einen langenZylinder aus Bessel-Funktionen. Für die Kugel findetman eine Lösung durch Überlagerung eines Coulomb-Potentialsn rv r- 1 , für das !J.n = 0 wäre, mit einem Abschirmglied