Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIIIII1128 Lösungen zu den Aufgaben12.2.7. UV-LaserBeim Laser müssen die erzwungenen Emissionen überwiegen.Ihre Häufigkeit ist gegeben durch ag( v, T)n*, die derspontanen Emissionen durch ßn*. Im thermischen Gleichgewichtist das Verhältnis beider 1/(e-hv/(kT)- 1), (vgl. Aufgabe11.2.13), d.h. um so ungünstiger für die erzwungeneEmission, je größer v bei gegebenem T ist. Der Laser arbeitetzwar nicht im Gleichgewicht mit T = Umgebungstemperatur,aber die Abweichung von diesem Gleichgewicht mußum so krasser sein, je höher die gewünschte Frequenz ist.12.2.8. Nichtlineare Optik IIm Sonnenlicht (I= S =!EH=! Jeeo/(JlJlo)E 2 =1400W /m 2 ) ist E = 1 OOOV/m, H = 2,6A/m, im 10 10 malstärkeren Laserlicht E ~ 108 V/rn, H ~ 105 Alm. Dieskommt den Feldern von der Größenordnung e 2 /(4Ire0r 2 )~ 109 V/rn schon nahe, mit denen die Elektronen an dasAtom gebunden sind. Das Mitschwingen eines Elektronsin einem so starken Wellenfeld ist keine kleine harmonischeZitterbewegung um den Grund des Potentialtopfes mehr,m. a. W., das Profil des Topfes, in dem das Elektron sitzt,kann nicht mehr als Parabel angenähert werden, sondernes sind mindestens Glieder mit x 3 und x 4 zu berücksichtigen(asymmetrische bzw. symmetrische Anharmonizität). Im allgemeinenwird die Bindung bei hoher Amplitude weicher(symmetrisch), ebenso ist sie bei Entfernung vom Kern weicherals bei Annäherung an ihn (asymmetrisch). Man bedenkedabei, daß zwar "außen" und "innen" für ein punktförmigaufgefaßtes Elektron einen Sinn haben, sich aberim Gesamtkristall diese Asymmetrie i. allg. wieder aufhebt,außer bei Kristallen ohne Symmetriezentrum, dieauch Piezoelektrizität und andere Asymmetrieeffekte zeigen.Bei einer solchen Anharmonizität erregt das einfallendeSinusfeld eine nichtharmonische Polarisationswelle imKristall, deren Gipfel und Talsohlen flacher sind als beimSinus (symmetrisch) bzw. deren eine Halbwelle höher istals die andere (asymmetrisch). Eine solche asymmetrischeWelle läßt sich durch Überlagerung des Grundsinus miteiner Oberwelle doppelter Frequenz herstellen, deren Bergemit denen der Grundwelle koinzidieren, aber in einer Grund­HalbweJle im gleichen, in der nächsten im Gegensinnschwingen. Die symmetrische anharmonische Welle verlangtungerade Oberwellen, besonders eine mit dreifacherFrequenz. Grund- und Oberwellen der Polarisation emittierenSekundärlicht entsprechender Frequenz. Die Oberwellenhaben in einem Medium mit normaler Dispersion größeres n,also kleineres c als die Grund welle, laufen also langsamer alsdie Polarisationswelle, die sie anregt und die natürlich mit derGrundwelle mitläuft. Dieses Außer-Tritt-Fallen führt i. allg.zur Selbstauslöschung der Oberwellen durch Interferenz.Man kann dies vermeiden, indem man die Oberwelle zumaußerordentlichen Licht in einem negativ doppelbrechendenKristall macht und die Polarisationsrichtung so wählt, daß derUnterschied zwischen c 30 und c 0 die Dispersion gerade ausgleicht.12.2.9. Nichtlineare Optik IIIn Aufgabe 12.2.8 haben wir das Wellen- und Resonatorbildder klassischen Elektrodynamik benutzt. Jetzt versuchen wires im Photonenbild. Die Frequenzverdopplung in einer sehrintensiven Lichtwelle ist dann so darzustellen: Üblicherweiseabsorbiert ein Atom des Mediums ein Photon und emittiert essehr bald wieder, wobei entsprechend Energie- und Impulssatzdie Frequenz (m = W /Ti) und die Ausbreitungsrichtung(k = p /Ti, lkl = 21r / A.) erhalten bleiben. Licht geht also durchein durchsichtiges Medium geradlinig und frequenzgleich,nur mit i. allg. verminderter Geschwindigkeit. Im sehr starkenWellenfeld kommt es vor, daß ein Teilchen fast gleichzeitigzwei Photonen absorbiert und dafür nur eines mit derdoppelten Frequenz emittiert. Die Bedingung dafür lautet(vgl. Aufgabe 12.2.4): Die Lichtintensität muß einer Temperaturentsprechen, bei der die Atome einen erheblichen Teilder Zeit angeregt sind, also kT i:;; hv, d. h. T = einige 10 4 K.Mit I ~ T 4 folgt, daß I mindestens 108mal so groß sein mußwie im Sonnenlicht (300 K). In diesem Bild kann es aber auchvorkommen, daß zwei Photonen verschiedener Richtungenk 1, k 2 und Frequenzen WJ, w2 gleichzeitig absorbiert werdenund dafür nur eines mit k = k1 + k2 und w =WJ + wz emittiert wird, oder aber, falls wz < WJ, daßzwei mit wz und eines mit w = WJ - w 2 , k = k 1 - kz emittiertwerden. Dieser Kombinierbarkeit verdankt man es z. T.,daß man heute praktisch in jedem Spektralbereich "Iasern"kann. Im Wellenbild klingt die Sache etwas komplizierter:Bei kleinen Intensitäten schwingt jedes Elektron im Feldder Primärwelle harmonisch mit. Dabei sendet es eine Sekundärwelleaus, die für jedes Elektron die gleiche Phasendifferenzgegen die Primärwelle hat. Die Elementarwellenkonstruktionvon Huygens zeigt, daß sich in diesem Fall die Kugelwellen der verschiedenen Sekundärstrahler in allen Richtungenweginterferieren, außer in der ursprünglichen Einfallsrichtung.Bei zwei Wellen verschiedener Richtung giltbei kleiner Intensität dasselbe: Sie durchsetzen einander ungestört.Eine Welle sehr hoher Intensität aber verändert dieEigenschaften des Mediums, z. B. seine Brechzahl n. Sie erzeugtsozusagen einen Satz sehr dünner Platten (Dicke= A./2), die sich mit Phasengeschwindigkeit bewegen. Diezweite, schräg dazu einfallende Welle wird an diesen Plattenteilweise reflektiert, und der Doppler-Effekt bei der Reflexionam bewegten Spiegel ergibt gerade die beobachtetenFrequenzänderungen. Man sieht: Es führen mehrere Wegenach Rom.12.3.1. Bohr-GeschwindigkeitVorausgesetzt ist das Bohr-Rutherford-Modell, in dem derUmlauf des Elektrons die Coulomb-Anziehung des Kernsausgleicht. Für die n-te Wasserstoffbahn folgt mvr = nnund mv 2 /r = e 2 /(4m;or 2 ), also v = e 2 /(4Ireon1i) (unabhängigvon der Masse des umlaufenden Teilchens; also inMyon- und Kaon-Atomen ebensogroß), und w =me 4 ((16Jr 2 e6n 3 h 2 ). Für n = 1 wird v1 = c/137 (das Verhältnise 2 / ( 4Ire0hc) = 1/13 7 heißt Feinstrukturkonstante) undw 1 = 4 · 10 16 s- 1 , was in der Größenordnung der Atomfre-