Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1062 Lösungen zu den Aufgabenvon 4 · 10 8 bzw. 2 · 10 10 J/d verlorengehen, wenn das ganzeTemperaturgefälle direkt am Stein bzw. Glas erfolgte. InWirklichkeit liegt drinnen und draußen eine schützendePrandtl-Grenzschicht, die bei einer konvektiven Strömungsgeschwindigkeitv = 2 rnls etwa je 1 cm dick ist und wegen2 = 0,025 W/m K insgesamt besser isoliert als das Mauerwerk.Bei Sturm allerdings kann diese Schicht auf! zurückgehen(v;::::; 50ms). Mit 2cm Luftschicht ergibt sich einVerlust von 10kW oder 109 J/d, entsprechend etwa 301Heizöl/d.5.4.2. Thermische RelaxationDer Temperaturleitwert },I (ec) ist für Kupfer 3,9 I (8,9 ·0,38) = 1,15, Wasser 0,00541(1 · 4,2) = 1,3 · 10-3, Fett0,002I(0,9. 1,8);::::; 10-3, Luft 2,4. 10-4 1(1,3 -10-3-1) =1,18, Stein 0,021(2,5 · 1);::::; 0,01 cm 2 ls (für Fett istentgegen der Neumann-Kopp-Regel die CH2-Gruppe alsunabhängige thermische Einheit anzusehen, daher c ;::::;20 J mol-1 K- 1 I (14 g mol- 1) ;::::; 1,8 J g-1 K- 1 ). Fett isoliertalso mehr als dreimal besser als Wasser, Luft 20mal, derWärmeausgleich erfolgt aber bei gleicher Geometrie inFett und Wasser etwa gleich schnell, in Gestein 10malschneller, in Luft 200mal schneller. Trotzdem ist die thermischeRelaxationszeit (Wärmeausgleichszeit) bei großräumigenLuftströmungen sehr lang, bei R = 50 m z. B. T ;::::;gcR 2 I A;::::; 0,2 · 2,5 · 10 7 s;::::; 1 Woche. Vertikale und horizontaleKonvektion erfolgen also weitgehend adiabatisch.Das führt zur adiabatischen Höhenschichtung (vgl. Aufgaben5.2.8-5.2.15), und dazu, daß die Temperatur, die beiuns herrscht, mehr von den Luftströmungen als von der momentanenSonneneinstrahlung abhängt.5.4.3. Mindestalter der Erde (Kelvin)Bei einem T -Gradienten von 0,03 Klm leitet das Gestein eineWärmestromdichte vonA.dTidz = 1,6W lmK · 0,03Kim r;:j0,04 W I m 2 . In 100 km Tiefe ist es noch 3 000 K heiß, wennder T-Gradient bis dahin so weitergeht. Wenn diese Säule von100 km Höhe und 1 cm2 Querschnitt, also 3 · 107 g Masseund 4 · 10 7 J/K Wärmekapazität, anfangs durchweg 3 000 Khatte, also im Durchschnitt 1 500 K verloren hat, muß sieinzwischen 1500K · 4 · 10 7 JIK = 6 · 1010 J abgegeben haben.Das dauert bei dem angegebenen Wärmestrom1,5 · 1016 s = 5 · 10 8 Jahre. In Wirklichkeit hat die Wärmedes Erdinnern wahrscheinlich längst nichts mehr mit demevtl. glutflüssigen Ursprung der Erde zu tun, sondern wirdlaufend gleichgewichtsmäßig durch die radioaktive Wärmeproduktionder Gesteine und Umschichtungen im Erdinnern,die Gravitationsenergie in Wärme umsetzen, aufrechterhalten.5.4.4. BodenfrostWir machen für die räumliche und zeitliche TemperaturverteilungT(x, t) den Ansatz T = To + T1 eiwt · eax: HarmonischeSchwankung um den Mittelwert To mit der AmplitudeT 1 am Erdboden, mit der Amplitude T 1 eax in der Tiefe x.Einsetzen der Ableitungen in die WärmeleitunsgleichungT = },Txxl(ec) zeigt, daß dieser Ansatz wirklich eineLösung ist, falls a2 = iecw I 2 ist. Wurzelziehen in der komplexenEbene heißt: Winkel halbieren, Betrag radizieren. Esgibt zwei Wurzeln: a = ±-j!ecwl },(1 + i). Nurdie negativeist brauchbar, denn mit der positiven würde die Amplitudemit der Tiefe unbegrenzt zunehmen. AlsoT = To +Tl . ei(wt-x-Jecw/(2J.)). e-x-Jecwj(ZJc).Die Amplitude klingt auf der Tiefenstufe x0 = J22l(ecw)auf 1/e ab, die Phase hinkt gegenüber der Lufttemperaturum xlxo nach. Mit w = 7 · 10-5 s- 1 (Tagesschwankung)ist xo r;:j 14cm, mit w = 2. w-7 s-1 (Jahresschwankung)ist xo = 2,70m, mit w = 3 · 10-6 s-1 (dreiwöchige Kältewelle)ist xo r;:j 60 cm. Für Deutschland ist To = 9 °C,Tt Jahr = 10 K, Tt Tag = 8 K, T1 Kältewelle r;:j 20 K. Mit 1,20 mErde dämpft man die Jahresamplitude auf 6 K, die derKältewelle auf 3 K, die der Tageswelle auf praktisch 0 K.Das Wasserrohr ist in dieser Tiefe sicher. Dem gutangelegtenSektkeller kann nur dieJahreswelle gefährlich werden. In 6 mTiefe ist ihre Amplitude nur noch 1 K. Wennxlxo = 1r, ist diePhase um eine Halbwelle verschoben. In 0,5 m Tiefe istes also nachts, in 8,5 m Tiefe im Winter am wärmsten.Jakutsk hat To = -12 °C, T1 Jahr= 30K. Ab x = xo ·e-12130 = 1,80m bleibt es selbst im Sommer unter 0 °C,dort beginnt der Permafrost. Dieses Phänomen existiert überall,wo To unter Null liegt, die Zone ewigen Frostes beginntin um so größerer Tiefe, je größer T1 und To sind, nämlichbei x = xo ln(TJ/JTol).5.4.5. Wiener-VersuchIn einer Lösung, wo die Salzkonzentration und damit dieBrechzahl n sich senkrecht zur Lichtausbreitung ändert,wird der Lichtstrahl gekrümmt. Eine Wellenfront der Breited läuft unten mit der Geschwindigkeit ein, oben mitcl(n- dnldx · d) r;:j (1 - dnldx · dln) ein.Innerhalb der Schichtdicke l wird sie um den WinkelIX = l dnl dx nach unten abgelenkt, wenn die Brechzahl,wie üblich, nach unten zunimmt. Auf einem um L entferntenSchirm bewirkt das eine Ablenkung y = LI dnl dx. In der Lösungbilden die Funktionen c(x) und n(x) zuerst eine steileStufe bei x = 0, die sich allmählich abflacht, aber ihren Wendepunktbei x = 0 behält. Die Ableitung dn), dx, auf die eshier ankommt, ist eine Gauß-Kurve ~ e-x /(4Dt), die ihreWendepunkte zur Zeit t bei x = V2f5i hat. Das um y verzerrteLichtbündel stellt, wenn man die 45°-Neigung korrigiert,genau diese Kurve dar. Ihre Gesamtfläche gibt dieDifferenz der asymptotischen n-Werte, also der Konzentrationen.Ihre Wendepunkte verschieben sich mit der Zeit genaugemäß x2 = 2Dt und erlauben eine Bestimmung des Diffusionskoeffizienten.5.4.6. DruckparadoxonDurch ein Loch von normaler Größe strömt nach Torricelliein Gas bei der Druckdifferenz !1.p mit der GeschwindigkeitVT = J2 !1.p I(!. Ohne Druckdifferenz erfolgt auch kein resultierenderStrom, wenn beiderseits verschiedene Gase