Lösungen zu den Aufgaben - Springer

Kapitel13: Lösungen 1151ihren Neigungssinn mit der Periode T ändert, müssen Rillenradiusund Kugelgeschwindigkeit so eingerichtet sein, daßein halber Umlauf T 12 dauert: für die n-te Halbrille mußgelten rn = Tvnl2. Dann wird die Kugel, wenn sie in derrichtigen Phase eingesetzt wird, bei jedem Halbumlauf beschleunigt,und zwar gewinnt sie dabei jedesmal die Energiemgh, wenn h die maximale Höhendifferenz der D's ist. Biszum n-ten Rillenhalbumgang ist die Kugel n-mal beschleunigtworden und hat die Energie nmgh und die GeschwindigkeitVn = J2ngh. Der n-te Halbkreis muß also den Radiusrn = T,j2nghl(2rr) haben. Die Rillen folgen nach außenzu immer enger aufeinander. Für Konstrukteure: Gesamtbrettradiusz. B. 60 cm, Kugeldurchmesser 0,8 cm, Rillenbreite0,6 cm, 8 Halbrillen von 20,8 bis 58,7 cm Radius,Übergangsbrett 5 cm breit, maximal 45° schief, T = 8 s.Nachrechnen, ausprobieren! Ohne Rille, mit Spiralfeder: ElastischeBindung ans Zentrum, Zentripetalkraft k(r- r 0 ),wobei ro Ruhelänge der Feder. Kreisbahn beimv 2 Ir= k(r- ro), also für kleine r ebenfalls rn ~ n 1 1 2 •Beim echten Zyklotron ist wegen mv 2 Ir= evB für den n­ten Umlauf eB = Jm2Wonlr, d. h. rn = Jn2mWol(eB),die Bahnhalbkreise sind also ebenso abgestuft wie beim Modell,nicht äquidistant, wie man sie gewöhnlich zeichnet.13.3.21. LinearbeschleunigerDas n-te Rohr habe die Länge ln und werde in der Zeittn = lnlvn durchflogen. Diese Zeit muß immer gleich derWechselspannungsperiode T sein. In jedem Rohrzwischenraumgewinnen die Teilchen die Energie Wo = eU, habenalso im n-ten Rohr Wn = n Wo, falls sie schon mit Wo inserste ein eschossen wurden. Es folgt Vn = J2nWolm undln = T2nWolm: Die Rohrlängen müssen wie die Wurzelaus n zunehmen. Bei großer Gesamtrohrzahl N ist die Längedes ganzen Beschleunigers L = 'Lf ln ;::; Jt' ln dn = ~ N 3 1 2 z1 .Bei bekannten L und WN ergeben sich natürlich aus den beidenBeziehungen WN = NW0, L = ~l 1 N3 1 2 die drei Unbekannten/1, N, Wo nicht eindeutig, aber es ist plausibel,daß /1 nicht kleiner als 1 cm ist. Dann muß in StanfordWo:::: 7MeV, N:::: 6 · 10 3 sein, das letzte Rohr wäre knapp1m lang. Der "kleine" CE&.~-Protonen-Linearbeschleunigerhat WN =50 MeV, L =30m, N = 111. Man erhältWo= 450keV, /1 = 3,85 cm, IN= 40,6cm.13.3.22. Teures SynchrotronUns interessiert der relativistische Bereich, wo W ;::; pc ist.Dann geht die Kreisbahnbedingung mv 2 Ir = evB oderplr = eB über in W = ecrB. So großräumige Magnetfeldersind nicht viel größer als 1 T, also rlm;::; 3W/GeV. Tatsächlichhaben Berkeley und Genf 30 Ge V-Anlagen mitr = 100m, Serpuchow hat 76 Ge V mit r = 250m. 1 Te V erfordertr = 3 km. Der Äquatorring würde W;::; 2 · 10 15 eVliefern.13.3.23. SynchrozyklotronBei 750MeV hat das Proton die 1,7fache Ruhmasse. DieUmlauf-Kreisfrequenz, die bei kleiner Energie w = eBImo = 1,7 · 10 8 s- 1 beträgt, muß bei Maximalenergie auf108 s - 1 absinken. Man braucht 250 000 Schritte von 5 ke V,also 125 000 volle Umläufe bis dahin. Sie dauern etwa5 ms (Mittelwert der beiden Frequenzen). Der Magnetmuß mindestens r = W I ( ecB) ;::; 1,5 m Radius haben (inWirklichkeit etwa doppelt so groß). Die Teilchen laufen annähernd1 000 km.13.4.1. Vorspiel auf dem TheaterDer Inhalt der Diskussion ist ungefähr identisch mitAbschn. 13.4. Auftretende Ähnlichkeiten sind nicht ganz zufällig:Monopetras = Einstein, Orothermos = Heisenberg,Okoun-Andros =Gell-Mann (okoun ist eines der Flickwörter,die Prof. Unrat mit "traun fürwahr" zu übersetzen pflegte;Süddeutsche dürften "gell" sagen); Trochites = Wheeler; Polyhistor=ungewöhnlich belesener Reporter; Demokrit, Aristoteles,Aristophanes spielen sich selbst (echtes Demokrit­Zitat); Alexander, Achill, Nymphen Füllfiguren.13.4.2. Vorspiel im HimmelMephistopheles kommt mit der feinsten Höllenbratenzange.Alle beugen sich über eine Luke im Himmelsfußboden.Meph. (reißt blitzschnell die Zange hoch und steckt sich etwasin die Schwanzquaste): Voila! You see! Wot! Ecco! Heureka!(Die anderen starren immer noch nach unten.)Mich.: Das Feld!Meph.: Was fällt? Erzählt das euren Ammen!Max.: Die Ladung. Depp! Denn die ist nicht mehr da, undweil sie weg ist, bricht ihr Feld zusammen ...Her.: Ja, doch nicht überall zur gleichen Zeit! Ganz innen ist'sschon weg, drumrum noch nicht, die Grenze zwischen Nichtsund Feld, soweit wie sie halt laufen kann, schnell wie dasLicht .. .Max.: ... ja, da, wo sie vorbeisaust, gibt's E, darum schlingtsich ein H, et cetera.Her.: Seht Ihr's, Herr Junker? Wer was klaut, der funkt derUntat Kunde in den Äther, Da! Die Kunde ist ein Photon, oderzwei. Und des gestohl'nen Teilchens Energie, die steckt inden Photonen.Der Herr: Ja, vorbei ist's mit der blinden, wütenden Maniedes Nur-Vernichtens. Alles ist Verwandlung. Nichts ist verloren,nichts umsonst getan. Was dich betrifft, so weiß ich 'neBehandlung: Geh heim ins Bett und sauf dir einen an.Meph.: Ja, Ihr habt recht. Est veritas in vino. Das nächste Malklau ich bloß ein Neutrino.13.4.3. Eddingtons SpekulationWenn man N Teilchen regellos über einen Raum der AbmessungR verstreut, ist die Standardabweichung der Lage ihresSchwerpunkts nach Poisson Rl ..jN (vgl. Abschn. 1.1.7, Aufgabe13.2.6, auch Aufgabe 14.6.2). Im Binstein-Weltall(Dichte 10-29 glcm 3 ) ist R ;::; GMic 2 ;::; 10 10 Lichtjahre;::; 10 26 m. Die gesuchte Masse ist m = plc = VNhl(cR);::; 2 · 10-28 kg, d. h. etwa die Pion- oder Myon-Masse. DieseÜbereinstimmung kommt daher, daß R I ..jN sich als etwagleich dem Yukawa-Radius ergibt. Damit reduziert sichdas Wunder auf das in Aufgabe 13.4.4 diskutierte.