Lösungen zu den Aufgaben - Springer

..Kapitel13: Lösungen 1 1 1143IIIIe-o:r, nämlich n = nor-1 e-o:r, was die Diffusionsgleichunglöst, wenn IX = yk*fi5 ist. Diese Lösung ist offenbar nurfür k* > 0, d. h. im ideal überkritischen Fall sinnvoll. Im entgegengesetztenFall geht sie rein mathematisch über in eine"Kugelwelle" n = nor- 1 e-io:'r. Gerrau das gleiche abgeschirmtePotential ergibt sich für eine Ladung, um die sichGegenladungen entsprechend einer Boltzmann-Energieverteilungansammeln und ihr Feld abschirmen. Debye undHückel haben gerrau dieselbe Differentialgleichung lösenmüssen. Wir betrachten die überkritische sphärische Lösunggenauer. Wenn der Core-Radius R « 1IIX ist, folgt eineCoulomb-Verteilung n ~ 1 Ir mit im Zentrum theoretischunendlicher Neutronen dichte. Bei R » 1 I IX herrscht nurinnerhalb von r "'" 1 I IX ein merkliches n, außerhalb ist esfast ganz abgeschirmt, wodurch allerdings auch die Verlustenach außen verschwinden, die bei kleinerem Core ungefährunabhängig vom Radius sind, ebenso wie der Fluß einesCoulomb-Feldes.13.1.18. Katalysierte FusionEin Deuteron mit einem negativen gebundenen Teilchen imAbstand a verhält sich in Abständen » a neutral. Für einElektron ist a = 0,5 A, für das 200mal schwerere Myona "'" 2,5 · 10-13 m (Bohr-Radius r ~ m- 1 ). Die Tunnelwahrscheinlichkeitdurch einen Wall der Höhe W"'" e 2 l(47reoro)"'" I MeV (ro "'" 1,3 · 10- 15 m) und der Dicke a ist gegebendurch e-k'a mit k' = v2mWih"'" 1014 m- 1 , wird also aba"'" 10- 13 m erträglich. "Kalte" p,ud-Moleküle werdenalso mit annehmbarer Wahrscheinlichkeit zu 3 He fusionieren.Die aus dem Massendefekt folgende Fusionsenergievon 5,4MeV schleudert i. allg. das Myon ab, das für weitereReaktionen verfügbar ist, falls es noch lebt. Die Bindungsenergiedes P.U folgt zu 2,9keV (W ~ m), mit Berücksichtigungder Kernmitbewegung (Aufgabe 12.3.5, 12.3.6) senktsie sich auf 2, 7 ke V für p,u, 2,8 ke V für d,u. Jedenfalls erhältman aus kT"'" W eine Dissoziationstemperatur um 107 K(knapp 10 5 K für gewöhnliches H). Im Sterninnern könnteMyowasserstoff noch existieren, wenn auch nicht bei denangestrebten noch höheren technischen Fusionstemperaturen.Ein 100eV-Deuteron fliegt mit 105 m/s, braucht alsofür I mm 10- 8 s. Mit dem Einfangquerschnitt 10- 25 m2 entsprechenddem Myonbahnquerschnitt folgt im flüssigenWasserstoff (Teilchenzahldichte n"'" 10 29 m- 3 ) eine freieWeglänge l = I I ( (Jn) "'" I o-4 m und eine Bildungszeit desp,ud-Moleküls von 10- 7 s. Ein Myon könnte etwa 10 Fusionenkatalysieren, nach Alvarez sogar 100, liefert also etwa1 Ge V. Seine Erzeugung aus einem Pion kostet im Prinzipnur dessen Bildungsenergie von etwa 200 MeV, de factoheute aber noch I010mal so viel. Das Myon käme inw- 6 s 10m weit. Also wird es gestoppt. Aus Abb. 13.35schätzt man 1 cm Reichweite.13.2.1. Wieso wird's mehr?Wie Abb. 13.22 und 13.28 zeigen, sind unter den Folgeproduktendes Ra (Halbwertszeit r = I 580 a) am langlebigstenPo, dessen Zerfall zu Pb führt ( r = 136 d) und Rn, das direktaus Ra entsteht (r = 3,8 d). Die sechs Zwischenprodukte zer-fallen viel schneller ( r höchstens einige Minuten). Schonnach etwa einer Stunde haben sich also diese sechs unddas Po mit der jeweils vorhandenen Rn-Menge ins Gleichgewichtgesetzt, d. h. jedes von ihnen führt ebenso viele Zerfälleisaus wie das Rn, wodurch sich dessen Aktivität verachtfachtDas Rn selbst entsteht aus der für Laborzwecke unerschöpflichenRa-Menge gemäß fzRn = ARanRa- },RnnRn,also nRn = nRa},Ral ARn(1 - e-),Rn 1 ) und erreicht nach etwaeiner Woche den Gleichgewichtswert nRn = nRaARal },Rn =nRa7:Rni7:Ra "'" 6. w- 6 nRa. d. h. etwa 6. w- 7 g. Die Po­Atome sind 13613,8mal häufiger (ca. 2 · w-5 g), die Zwischenproduktemindestens hundertmal seltener. Alle neunGlieder der Zerfallsreihe haben dann die gleiche Aktivität,die demnach auf 0,9 Ci angestiegen ist. 0,5 Ci davon entsprechenIX-Strahlung (der Massenunterschied zwischen 226 Raund 206 Pb kann nur durch IX-Zerfall abgebaut werden).13.2.2. Pierres NachtlichtDas Szintillationsfeld von 0,1 mm 2 in 30cm Entfernung vonder Probe deckt einen Bruchteil von 0,11(41!'300 2 )"'" w-7des vollen Raumwinkels. 0,03 Szintillationen/s entsprechenalso einer Aktivität der w- 6 g-Probe von 3 · 10 5 Zerfällen/soder für 0,1 g von 3 · 10 10 Zerfällen/s. Wenn die Curies denAktivitätsanstieg ihrer Probe von Anfang an, d. h. schon wenigeStunden nach seiner Isolierung verfolgt haben, konntensie die Schlüsse von Aufgabe 13.2.1 ziehen und somit 3 · 10 9Zerfälleis aufs Konto der 0,1 g Ra allein buchen, obwohl siedie einzelnen Glieder der Zerfallsreihe noch nicht kannten(Abb. 13.22). 0,1 g Ra enthalten 0,11(200 · 1,6 · 10- 24 ) "'"3 · 10 20 Atome (wir nehmen an, man habe das Atomgewichtaus der chemischen Analogie mit dem Ba und dem periodischenSystem zu etwa 200 geschätzt; auch die Wasserstoffmassewar damals noch nicht so gerrau bekannt). Die Halbwertszeitläßt sich daraus zu 3 · 10 20 I (3 · 10 9 ) "'" 10 11 s "'"3 000 a schätzen. Die Kalorimetermessung ordnet 3 · 109Zerfällen/s eine Energieproduktion von 4 J lh1,2. 10-3 w ZU, also einem Zerfallsakt 4. 10-13 J, wasnach heutiger Terminologie etwa 3 MeV entspricht.13.2.3. Maries WaschkücheSeit der Bildung des Uranerzes hat das radioaktive Gleichgewichtbestimmt für alle Folgeprodukte des U Zeit gehabt,sich einzustellen, selbst für Ra. Also verhalten sichdie Atomanzahlen von Ra und U wie ihre Halbwertzeiten:15801(4,5 · 10 9 ) "'"3 · w- 7 . Selbst wenn bei der Reinigunggar nichts verloren ginge, müßte man also für 0, 1 g Ra schon300 kg U aufbereiten. Die Erzmenge ist natürlich nochviel größer. Aus der gleichenU-Menge gewinnt man höchstens0,1 · 1281 (1 580 · 365) "'"2 · 10- 5 g Po. Man siehtalso, daß die kleine Marie Curie auch physisch mindestensso geschuftet hat wie die Waschfrauen ihrer Zeit. Die erstenPhasen der Aufbereitung erfolgten übrigens in ihrem Waschkessel.13.2.4. StabilitätIn einer Zerfallsreihe A ---> B ---> .•• ---> F ---> G ---> H ---> ••.füge man z. B. zu den im Gleichgewicht befindlichen Nukli-