Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIII1058 :: Lösungen zu den Aufgabensie stoßen nicht mehr miteinander. Die Strömungsgesetze,die ein Kontinuum wechselwirkender Teilchen voraussetzen,gelten nicht mehr. Der Gasstrom durch eine enge Öffnung(Hahn), an der die Druckdifferenz 11p liegt, ist nichtmehr nach Torricelli AJ211pjQ, sondern Avm 0tl1p/p =Avr;;le ·11pjp, d.h. um den Faktor ~kleiner alsnach Torricelli: Die Pumpen ziehen schlechter. Kühlt maneine Wandstelle unter den Siede- oder Sublimationspunkteines Restgasanteils, so schlagen sich praktisch alle auftreffendenMoleküle dort nieder (Kühlfalle).5.2.21. k-MessungDas Spiegelehen kann als Riesenmolekül aufgefaßt werden,das eine Brownsche Rotationsbewegung mit der mittlerenEnergie ! kT, aber mit ständig wechselndem Drehsinnausführt. Diese Energie kann gleich _Qer mittleren potentiellenEnergie der Torsion ! Drtp2 gesetzt werden.Der quadratisch gemittelte Ausschlagwinkel ist ytft =y'kT/Dr = y'4 -10-21 J/(2,5 · I0-14 Nm)= 4-10-4 (vgl.Aufgabe 3.4.1). Wenn der Lichtzeiger 5 m lang ist, zitterter im quadratischen Mittel um etwa 2 mm hin und her. EinzelneAusschläge sind natürlich viel größer. Beobachtet man(unter Ausschluß jeder Luftbewegung um das Drehspiegelsystem!)lange genug, um sagen zu können, daß der quadratischgemittelte Ausschlag 2 ± 0,5 mm ist, und bestimmt mandie Torsionssteifigkeit Dr aus einer Messung der Drehschwingungsperiodebei bekanntem Trägheitsmoment(man kann das Spiegelehen auch größer machen), dannhat man damit die Boltzmann-Konstante, die Avogadro­Zahl und die Massen der Atome auf 25 % gerrau direkt bestimmt.5.2.22. DiffusionZwei Weglängen /, rechtwinklig aufeinandergesetzt, bringeneine Gesamtverschiebung l1x = /,;2, drei Weglängen in dendrei Raumrichtungen l1x = l../3 (Würfeldiagonale), allgemeinn Weglängen l1x = lvfn. Die Flugzeit für n Weglängenist t = nl/v, also l1x = VJVi. Das entspricht folgendem Diffusionsexperiment:Man läßt viele Teilchen von einem sehrengen Raumbereich aus starten und beobachtet, wie dieseVerteilung sich allmählich verwischt. Die Verteilung wirdim wesentlichen durch die Gauß-Kurve e-2-/(4Dt) beschrieben,die einen mit der Zeit auseinanderlaufenden Berg darstellt.Abstand und Zeit sind ebenso verknüpft wie oben. Mansieht daraus, daß der Diffusionskoeffizient von Teilchen, obsie molekular oder makroskopisch sind, sich entsprechend(5.64) darstellen läßt als D :::::: lv. Andererseits gilt auch dieBinstein-Beziehung D = J1kT für jede Teilchengröße. UnsereAbleitung von (5.42) aus dem Gleichgewicht von Diffusions-und Sinkstrom erwähnt ja gar nicht, was für Teilchenes sind. Also gilt allgemein f1x2 = 3Dt = 3J1kT. Man beobachtedie Zitterbewegungen eines Teilchens von z. B. 111mDurchmesser unter dem Mikroskop und stelle in sehr vielenMessungen fest, daß es sich in der Minute im Mittelum 10 11m von seinem ursprünglichen Ort entfernt hat.Dann kann man k so bestimmen: J1 = l/(67ri'Jr),'1 = w- 3 Nsjm 2 = w- 3 kg!ms, also k = 21ri'Jrf1x2/(Tt)::::::1,5 · w-23 J/K. Dies ist eine der historisch ersten Bestimmungender Boltzmann-Konstante kund damit der Avogadro-ZahlNA, der Molekülmassen und -größen.5.2.23. Perrin-VersuchDie gefundenen Teilchenzahldichten haben eine exponentielleHöhenverteilung (in einfachlogarithmischem Papieraufgetragen!). Die Skalenhöhe, die die Ergebnisse am bestenbeschreibt, ist H = 0,45 mm (man beachte, daß die kleinenTeilchenzahlen n in größerer Höhe einem erheblichen Poisson-Stichprobenfehlervfn unterliegen, die Werte für dieunteren Schichten sind nur durch Fehler in der Höhenmessungdurch unvorsichtige Entnahme mit Umrühren unddgl. verfälscht; man kann daher nicht allen Meßpunktendas gleiche Gewicht beimessen). Diese Skalenhöhe ist1,8 · 10 7 mal kleiner als die der Luftmoleküle, also sind diese1,8 · l0 7 malleichter als die Latexkügelchen unter Berücksichtigungdes Auftriebs. Die effektive Masse der Kügelchenist M = 17r(0,3 · w- 4 ) 3 · 0,01 g = 1,1 . w- 15 g, womitsich für ein Luftmolekül m = 6 · w- 23 g und für dasH-Atom 2 · w- 24 g ergeben. Gleichzeitig erhält man dieBoltzmann-Konstante und die Avogadro-Zahl mit einer entsprechendenUngenauigkeit: k = mgH/T = 1,7 · 10- 23 J/Kund NA= 1/mH [g] = 5 · 10 23 .5.2.24. Maxwell-Verteilung IWir betrachten die W-Auftragung der Maxwell-Verteilungmit der Abkürzung x = W /(kT), also f(x) dx =Jrrx 1 1 2 e-x dx. Das Maximum liegt bei f(x) = 0, d. h.!x-1/2- x 1 1 2 = 0, also x = 1 und hat die Höhe Je!)=0e- 1 1 2 = 0,484. Wir fragen, in welchem Abstand vomMaximum die Funktion f(x) nur noch 1/e dieses Werteshat, also 0,178 ist. Rechts vom Maximum fällt die Kurvepraktisch wie e-x ab, bis auf den Faktor y'X, der den Abfallverlangsamt. Also liegt der rechte 1/e-Punkt etwas mehr alsl1x = 1 rechts vom Maximum, d. h. etwas oberhalb 1 ,5. Linksvom Maximum ist x « 1, also e-x:::::: 1, und y'X regiert allein.Der linke 1/e-Punkt liegt also nahe bei x = 0. Die Breitedes Berges zwischen den 1/e-Punkten ist danach ca. 1 ,5,die Höhe 0,5, die Fläche 0,75. Die genauere Rechnung lieferteine Breite 1,78, also eine Fläche 0,86. Die effektiveBreite der Maxwell-Kurve ist also durch die 1/e-Punktegut definiert.5.2.25. Maxwell-Verteilung IIMaximum der Maxwell-VeJeilung: df ( v) / dv = 0 ==>2v- mv 3 /(kT) = 0 ==> Vm = 2kT jm. Wie bei jeder Verteilung,die asymmetrisch ist und nach einer Seite weiterauslädt, liegt der Mittelwert außerhalb des Maximums,und zwar an der stärker ausladenden Seite. Für das quadratischeMittel ist das noch stärker der Fall. Die mittlere Geschwindigkeitist (mit a = m/(2kT))v=~a3f2h = -4 a3f2i.(.!_) =-2-= f8kf_fi fi da 2a Fa V -;;;:;