Lösungen zu den Aufgaben - Springer

"Kapitel s: Lösungen 1071Ultrazentrifuge, meist mit schweren Salzen wie CsCl.In 7 km Tiefe ist also die Salzkonzentration im Gleichgewichtdoppelt so groß wie an der Oberfläche, d. h. der osmotischeDruck ist 46 bar. Diese Druckzunahme entsprichtgerrau dem Gewichtsunterschied zwischen der SalzwasserundSüßwassersäule. Allgemein rage das Rohr bis in dieTiefe h 0 ; wo steht der Spiegel im Rohr? In der Tiefe h, sodaß (ho- h)e,üg = 11Posm = ho(},ag. Wir wissen, daß11pasm = nkT = kT([!sü -(} 8 a)lm'. Mit n = no em'gh/(kT) r:::!no(l +m'ghl(kT)) heben sich die ho-Glieder gerrau weg,also ergibt sich immer h = 230m, unabhängig von ho. ImGleichgewichtsozean kann man also ebensowenig Energieaus einer Tiefendifferenz gewinnen wie in der Gleichgewichtsatmosphäreaus der Druckdifferenz, die einer Höhendifferenzentspricht. Die Thermodynamik ist zufrieden. Andersim homogenen Ozean: Die 10 000 m-Salzwassersäuleübt um 28 bar mehr Druck aus als die gleich hohe Süßwassersäule.Gleichgewicht an der Membran herrscht also erst,wenn die Süßwassersäule (28- 23) · 10 = 50m über denMeeresspiegel ragt. Das gibt ein ansehnliches Kraftwerk.Der wirkliche Ozean liegt nun näher an der homogenenals an der Gleichgewichtsverteilung: Eine Wasserprobe ausdem Guam-Graben hat auch nur wenig mehr also 3,6%Salz. Die Meeresströmungen, besonders die vertikale Konvektion,mischen also gründlich. Sie werden letzten Endesvon der Sonnenenergie angetrieben, und die ist es, die dasosmotische Kraftwerk anzapfen würde. Wahrscheinlichgibt es allerdings ökonomischere Wege dazu.5.7.6. KondensationskeimeIn der Kapillare vom Radius r steht eine nichtbenetzendeFlüssigkeit um h = 2a I (rg(}FI) tiefer als normalerweiseund bildet eine halbkugelförrnige Oberfläche ebenfallsvom Radius r. Der Druck des Dampfes ist in dieser Höhenach der barometrischen Höhenformel um !1p = hg(} 0 =2a(}ol (r{}FJ) größer als an der normalen Flüssigkeitsoberfläche.Das Verdampfungsgleichgewicht verlangt, daß derDampfdruck über der konvexen Oberfläche um eben diesenBetrag größer ist als über einer ebenen. Den Molekülen, derenKommen und Gehen an der, Oberfläche das Gleichgewichtbestimmt, ist es gleichgültig, wie diese Oberflächenformzustandegekommen ist. Daher gilt die gleiche Dampfdrucksteigerungz. B. auch für ein Tröpfchen vom Radius r.Kleine Tröpfchen stehen also nicht mit dem üblichen Sättigungsdampfdruckim Gleichgewicht, sondern mit einem höheren,m. a. W.: Sie können sich erst bei Übersättigung derLuft bilden. Für Wasser erhält man, wenn man 11p in barund r in 11m ausdrückt, ziemlich gerrau p = 1lr. Müßtedie Kondensation immer mit der Zusammenlagerung wenigerMoleküle beginnen (r r:::! w- 9 m), dann könnte man gesättigten100 °C-Dampf auf 0 oc abkühlen, ohne daß sichTröpfchen bilden. Jedes Staubteilchen bietet aber eine vielschwächer konvexe Oberfläche an und hilft als Kondensationskeimdas schwierige Anfangsstadium zu überwinden. Ionenhaben einen ähnlichen Effekt, wenn auch aus anderenGründen (vgl. Aufgabe 13.3.18).5.7.7. MischungsdiagrammWir mischen x mol der Flüssigkeit B mit 1 - x mol derFlüssigkeit A. Die reinen Stoffe haben die DampfdrückePA1 bzw. PB1· Für die ideale Lösung sind die Teildampfdrückegegeben durch die Geraden PB = PB1X bzw.PA= PA1 (1 - x) über einer x-Achse, der Gesamt-Dampfdruckist p = PAI + x(pBI - PAJ). Im Dampf dagegen liegtB mit dem Mengenanteil y = PBIP vor. Elimination von xliefert p(y) = PAIPBII(pBI - y(pBI- PAI)). Das ist einnach unten durchhängender Hyperbelbogen über der y-Achse,der natürlich PA 1 und PBI verbindet (Abb. 5.75). All dasgilt für konstante Temperatur im Gleichgewicht. Bei konstantemAußendruck trägt man besser den Siedepunkt T auf. Mitsteigendem Dampfdruck sinkt der Siedepunkt nichtlinear:Aus einer steigenden p(x)-Geraden (B flüchtiger) wird einfallender T ( x )-Bogen, der mit dem T (y)-Bogen ein linsenförmigesGebiet einschließt. Aus der Lösung mit x1 bildet sichein Dampf mit dem höheren Anteil Yl (waagerechte Linie).Dieser kondensiert bei etwas tieferer Temperatur zu einerLösung mit dem neuen x2 = y 1 (senkrechte Linie), diez. T. zu Y2 > x2 verdampft, usw. Im Idealfall erhält mannach vielen Stufen reines B im Kondensat.5.7.8. Luft für FischeBei 20 °C enthält Wasser 0,0402 moVl C02, ein mol pro24,91, also fast soviel wie im Gasraum. Die Atmosphärehat heute nur 330ppm C02 (1/3 000 g/g), Partialdruck291 ( 44 . 3 ooo) bar = 2,2 . 1 o- 4 bar, was auf o,39 mg co2im l Wasser führt. 02 mit 0,2 bar in der Atmosphäre ist imWasser mit 7,0 mgll häufiger. Beide Gase sind in warmenMeeren viel rarer. Ein gut durchmischter Ozean (~ der Erdoberfläche,im Mittel 4 km tief) kann nur etwa ~ soviel C02lösen wie in der effektiv 8 km hohen Atmosphäre ist.Schnelle Pufferung erfolgt auch nur über eine durch Wellenund Diffusion durchmischte Schicht von knapp 100m. Dazukommen allerdings viel größere Mengen in Carbonaten gebundenesC02. Für deren Produktion sind die Tropen besser,weil sich Feststoffe wie Kalk im Warmen besser lösen. C02folgt gut einem Boltzmann-Gesetz mit W = 0,102eV, 02weniger gut mit 0,028 e V. Von Üblichen Gasen lösen sichnur N20 und NH3 ähnlich gut wie C02 mit fast identischenW; N2, H2, NO, He, Ar lösen sich noch schlechter als 02.5.7.9. Absorber-KühlschrankAuflösen von Gasen im Wasser kostet Energie (das ist die inAufgabe 5.7.8 bestimmte Aktivierungsenergie), die der Umgebungentzogen wird. Bei NH3 sind das O,ll4eV/Molekül,10,9 kJ/mol, für die 77 moVl bei 0 °C hätte Wasser also eineKühlkapazität von 837kJ!l. Heizt man das H20-NH3-Gemischaußerhalb des Kühlraums elektrisch oder mit Gasbrenner,so wird es durch Ausgasen noch wärmer, karm thermischzum Umlauf gebracht werden und liefert im Kühlraum beiz. B. 0,11/min fast 1 kW Kühlleistung.5.7.10. KältemischungÜber einer c-Achse (c: Salzkonzentration in g/1) mit T-Ordinatezeichne man eine Gerade von (0, 0) nach (350, -22,2),