Lösungen zu den Aufgaben - Springer

IIIIII1120 Lösungen zu den Aufgabenfür den Anteil der Planck-Kurve, der als Licht wahrgenommenwird. Die Leuchtdichte des schwarzen Körpers in Stilbergibt sich als L = 0,068 -[;;J Q( v, T)O"(v) dy aus der Energiedichteg( v, T) der schwarzen Strahlung und der spektralenEmpfindlichkeitskurve O"( v) des Auges. Der Faktor c vermitteltden Übergang von Energiedichte zu Intensität, derFaktor 0,068 von W/cm 2 auf lm/cm 2 , der Faktor 1/(47r)von lm/cm 2 auf sb = cd/cm 2 . Man kann die beteiligtenKurven annähern: Die Planck-Kurve durch die Wien­Kurve, falls kT ~ hv; die Empfindlichkeitskurve O"( v) alsRechteck der Höhe 1 zwischen v 1 = 4,5 · 10 14 s-1 undv 2 = 6,0 · 10 14 s- 1 entsprechend 660 und 500nm (vgl.Abb. 11.7). Dann vereinfacht sich. L zu L ~0 136k4 T 4c-2h-3 rx2 x 3 e-xdx ~ 0 136kTc2v3 e-hv,j(kT)mit x = hv/(kT). Die übrigen Glieder, die bei der partiellenIntegration entstehen, sind bis 2 000 K mehr als viermalkleiner. Bei T = 2 040 K (Schmelzpunkt des Platins) liefertdiese Näherung L = 50 sb, was mit den gemessenen 60 sb(Definition des sb) nicht so schlecht übereinstimmt. DieLichtausbeute in lm!W ergibt sich durch Multiplikationmit 21r (Halbraum) und Division durch die Stefan-BoltzmannscheGesamtleistung Yf ~ 103xj e-x, lm!W. Die graphischeIntegration mit dem exakten e( V) (}(V) ergibt dieWerte von Abb. 11.15.' Jx1 ' 111.2. 7. · SternhelligkeitWir müssen selbstleuchtende Himmelskörper (Sonne, Fixsterne,Galaxien) und solche unterscheiden, die nur dankreflektierten Sonnenlichts zu sehen sind (Planeten, Kometen,natürliche und künstliche Satelliten). Die Helligkeit einesSterns ergibt sich aus der der Sonne, die von uns denAbstand RE hat, im Abstand R durch Multiplikation mitdem Verdünnungsfaktor R~jR 2 ; außerdem können aberauch die absoluten Leuchtkräfte verschieden sein:Hst/Hs = LstRV(LsR 2 ). Ein Planet vom Radius r im AbstandR von der Sonne fängt einen Bruchteil 1rr 2 / ( 47rR 2 )des Gesamtlichts der Sonne auf. Hat er die Albedo rx undsehen wir einen Bruchteil y seiner beleuchteten Hälfte(z. B. Halbmond y = 0,5), so strahlt er in den Halbraum,wo wir sind, im ganzen rxyr 2 / ( 47rR 2 ) ab. Das Doppelte davonist das Verhältnis seiner absoluten Leuchtkraft zu derder Sonne (diese muß ja in den ganzen 47r-Raum strahlen).Hat er einen Abstand a von der Erde, so ergibt sichHp/Hs = rxyr 2 RV(2R 2 a 2 ). Für den Mond ist R =RE, fürdie ferneren Planeten a ~ R, für Mars, Venus, Merkurschwankt a stark mit der Stellung zur Sonne (Opposition,Konjunktion usw.); bei Venus und Merkur wird der Einflußdieser Schwankung durch die Phasen (y) teilweise kompensiert.Man erhält für Planeten und Satelliten Übereinstimmungmit der beobachteten Helligkeit, wenn man dieAlbedo entsprechend anpaßt.Beim Mond kann man noch einfacher argumentieren:Er erscheint ebensogroß wie die Sonne (r = 1 ~ 0 ); er empfängteine um den Faktor (rs/RE) 2 = (2 · 120)- 2 verdünnteSonnenstrahlung, von der er nur den Bruchteilrx = 0,07 zurückstrahlt, allerdings nur in einen Halbraum,was ihm den Faktor 2 einbringt. Also erscheint er1· 14 · 5 · 10 4 = 3 · 10 5 mal weniger hell als die Sonne.Sirius z.B. hat -1,5mag, die Sonne -27, ist also1,6 · 1010mal heller. Sirius ist 10 Lichtjahre entfernt, dieSonne 500 Lichtsekunden (s. Ole Rrpmer); das Verhältnisder Abstandsquadrate ist 3 · 101!, also ist Sirius absolutzwanzigmal heller. Der Andromedanebel hat +4,5 mag,die Sonne erscheint also 10°·4·(4,5+27) = 4 · 1012mal heller.Der Andromedanebel ist 3 · 106 Lichtjahre entfernt, das Verhältnisder Abstandsquadrate ist 3 · 10 22 , also hat der Andromedanebelca. 1010mal mehr Leuchtkraft als die Sonne. Manschätzt seine Masse heute sogar auf über 10 10 Sonnenmassen.11.2.8. Wieviel Sternlein?Das Auge nimmt bei maximaler Adaptation ca. 50 "grüne"Photonen/s wahr. Die Sonne strahlt an ihrer Oberfläche mit6 · 103 W /cm2, bei uns mit 0,13 W /cm2 . Ein Photon im Grünenhat hv = 4 · 1 o- 19 J. Auf 1 cm:i Erdoberfläche fallen also3 · 10 17 Photonen/s, davon ca. i, also 10 17 im optimal Sichtbaren.Die adaptierte Pupille von 0,2 cm 2 würde 2 · 10 16 Photonen/sauffangen. Ein Stern auf absolut dunklem Hintergrunddürfte also 4 · 10 14 mal weniger hell sein als dieSonne, d. h. 36,5 Größenklassen. Ohne Nachthimmelleuchtensähe man also noch Sterne von 9,5 mag, in Wirklichkeitnur von 5 mag.11.2.9. NachthimmelleuchtenFür ein optisches Instrument mit der Apertur d (Durchmesserder Eintrittspupille) erscheint ein Stern als Beugungsscheibchenüber einen Raumwinkel verschmiert, dessen Radiusetwa rx = X/ d ist. Für das dunkeladaptierte Auge mitd ~ 0,5 cm ist rx ~ 10-4 . Der Stern hebt sich vom Hintergrundnur dann ab, wenn er mehr Licht hergibt als die Hintergrundflächevon der Größe dieses Scheibchens, also demRaumwinkel 10-8 . Die unsichtbaren Sterne und Galaxienstrahlen nach Aufgabe 11.2.19 mit einer Gesamtintensität,die ca. 6 K entspricht und etwa die Frequenzverteilung desSonnenlichts hat, also mit einer Leuchtdichte, die(5700/6) 4 = 1012mal schwächer ist als die der Sonnenscheibe.Außerdem ist das Beugungsscheibchen etwa1 OOOmal kleiner als die scheinbare Sonnenscheibe mit ihremRadius von f ~ 4 · 10- 3 und ist daher ca. 1015malweniger hell als diese, erscheint also wie ein Stern, derum 7,5 · 5 = 37,5 Größenklassen dunkler ist als die Sonnemit ihren -27, d. h. wie ein Stern 1 0,5~ter Größe. DasOlbers-Licht beschneidet unsere Wahrnehmung also nichtmehr als die Optik des Auges selbst (Aufgabe 11.2.8).Anders das Streulicht vom Zodiakalgürtel und das Rekombinationsleuchtender Hochatmosphäre, das 1 OOmal stärker istals das Olbers-Leuchten. So kommt das Auge nur bis zur5. Größe. Ein Fernrohr mit einem größerend kann entsprechendauch schwächere Sterne sehen. Ein Faktor 10 in dbringt ein 1 OOmal kleineres Beugungsscheibchen, also 5 Größenklassenein. Der 5 m-Reflektor von Mt. Palomar siehtdaher noch Sterne 20-ter Größe.11.2.10. Augenempfindlichkeit50 Photonen/s, die durch die erweiterte Pupille (bis 5 mmDurchmesser) treten, entsprechen einer Bestrahlungsstärke