Lösungen zu den Aufgaben - Springer

1018 Lösungen zu den Aufgaben1.5.10. ZykloideWir legen die x-Achse auf die Straße, den Ursprung dorthin,wo der Punkt ganz unten ist. Von da rolle das Rad (Radius a)in der Zeit t um den Winkel wt. Dann hat der Punkt Koordinaten,die sich nach Abb. 1.24 zu y = a(1 - coswt),x = a( wt - sin wt) ablesen lassen. Seine Geschwindigkeitskomponentensind x = aw(1 - cos wt), y = aw sin wt. DieNeigung der Kurve ist dyldx = ylx = sinwtl(1- coswt).Die Kurve ist natürlich periodisch mit der Periode 2-rra.Der Punkt bewegt sich fast vertikal (i « y) bei wt i'::j 0,21r, .. . , horizontal (y = 0) bei wt = 1r, 37r, . .. mit.X= 2aw, d. h. doppelt so schnell wie das Auto. Beiwt = 0, 21r, ... ruht der Punkt einen Augenblick, wenn erdie Straße berührt (.X= y = 0). Ein Punkt auf der Radfelgebeschreibt eine Trochoide, die dem Profil einer Wasserwelleentspricht. Physikalisch interessieren an der Zykloide alsBahnkurve zwei Dinge: Wenn wir das Rad um dqJ weiterdrehen,um welche Strecke ds verschiebt sich der Punkt auf derLauffläche, und unter welchem Winkel rx gegen die Waagerechtetut er das? Das läßt sich aus der Parameterdarstellungausrechnen, aber sehr umständlich. Wir machen es liebergeometrisch und zeichnen die beiden Lagen des Rades, zwischendenen es um a dqJ weitergerollt ist. Der Punkt P hat sichdabei mit dem Radzentrum um a d(/J nach rechts verschoben,aber gleichzeitig auf der Felge ebenfalls um a d(/J. Beide Verschiebungenbilden den Winkel (/J zueinander. ds als dritteSeite dieses Dreiecks ist ds = 2a dqJ sin(lfJI2), der Steigungswinkelist rx = 1r I 2 - (/J I 2. Die Bogenlänge s, deren Differential4asin(lfJI2) dqJI2 heißt, ist s = 4a(I- cos(lfJI 2)) (vonder Spitze (/J = 0 an gerechnet). Ein Zykloidenbogen von(/J = 0 bis (/J = 21r hat die Länge s = 8a. Der Krümmungsradiusist R = dsldrx = 4a sin(lfJI 2), in der Mitte Rmax = 4a.1.5.11. PendeluhrSchon bei (/Jo = 30° schwingt das Sekundenpendel nicht mehrin 1 s, sondern in 1,03 s. Zum Ausgleich muß man die Endendes Kreisbogens hochbiegen wie bei der Zykloide. Daß diesedie Tautochrone ist, sieht man, wenn man die Bewegungsgleichungaufstellt, wobei man alles durch den Rollwinkel(/J des erzeugenden Kreises ausdrückt (der natürlich die unmittelbareBedeutung verliert, die er beim Kreis hatte).v = dsldt = 2aljJsin(lfJI2) (vgl. Lösung 1.5.10) oderv = - 4a(dcos(lfJI2)Idt). Die Beschleunigung ergibt sichkinematisch als v = -4a(d 2 cos(lfJI2)Idt 2 ). Dynamischkommt nur die zur Bahn tangentiale Komponente der Schwerebeschleunigungzur Geltung: v = gsina = gcos(lfJI2) .(Lösung 1.5.10). Man kann also die ganze Bewegungsgleichungdurch die Variable u = cos(1fJI2) ausdrücken:gu = - 4aü. Das ist die exakte harmonische Schwingungsgleichung,und auch bei größeren Amplituden ändert sich darannichts: Das Zykloidenpendel schwingt immer mitw..Jil4ä. Um den Pendelkörper auf einer Zykloide zu halten,nutzte Huygens die Tatsache aus, daß die Evolute derZykloide wieder eine kongruente Zykloide ist. Er hängteden Faden zwischen zwei Zykloidenprofilen auf, um diesich der Faden beim Schwingen teilweise herumwickelnmußte, so daß sich das freie Stück verkürzte und sein Endeeine Zykloide beschrieb. Die Fadenlänge (maximaler Krümmungsradiusder Zykloide) ist l = 4a, die Kreisfrequenzw = /ili. Konstanz der Periode trotz Amplitudenschwankungwar damals besonders für Schiffschronometer zur Bestimmungder geographischen Länge äußerst wichtig.1.5.12. Bruderzwist im Hause BernoulliZunächst vergleichen wir die beiden unvollkommenen Lösungen.Bei der Höhendifferenz h ist die Laufzeit auf derschiefen Ebene der Neigung rx nach den Fallgesetzent 1 = .J2hg sin -l rx. Senkrechter Fall dauert .J2h1i und liefertv = V2ifi. Das horizontale Bahnstück der Länge h cot rxwird dann in cot a~~rchlaufen, im ganzen braucht diezweite Bahn t2 = ...j2hl g ( 1 +! cot rx). Zeichnung oderRechnung zeigen, daß unterhalb rx = 37° die schiefeEbene, oberhalb die Knickbahn schneller ist. - Die idealeLösungsbahn wird steil anfangen, damit der Schlitten einemöglichst hohe Geschwindigkeit möglichst lange ausnutzt.Zum Schluß kann sie horizontal auslaufen. Wie erfolgt derÜbergang? Nach Jakob Bernoulli so, daß er einen möglichenLichtweg darstellt. Der Schlitten befinde sich um y tieferals A. Er hat dann v = ..f2iY. Licht in einem Medium mitder Brechzahl n hätte die Geschwindigkeit v = c In, alsomuß man n "' 1 I y1Y annehmen. Beim Übergang von einerSchicht mit n 1 zu einer mit n2 ist nach Snelliussin 1/Jd sin 1/1 2 = nz/n1 = VYJY;_, wo 1/1 der Winkel derBahn gegen die Vertikale ist. Nach Lösung 1.5.10 istljJ = 1r 12 - rx = (/J 12. Andererseitsy = a( 1 - cos (/J)= a (l- cos 2 (1fJI 2) + sin 2 (1fJI2)) = 2a sin 2 ((/JI 2) .Das Brechungsgesetz sin ljJ = sin(lfJI2) "' yiY ist also für dieZykloide und nur für diese tatsächlich erfüllt. Die Bahn mußwegen v = 0, n = oo, sin ljJ = 0, (/J = 0 an der Spitze A vertikalbeginnen. Wie sie bei B ankommt, d. h. ein wie langesStück der Zykloide man ausnutzt und welchen Rollradius adiese hat, hängt vom Verhältnis der horizontalen und vertikalenAbstände von A und B ab.Abb. L.31.5.13. Kann Messner mehr?Die Steiggeschwindigkeit (Höhenmeter/s) ergibt sich als mechanischeLeistung/kg Körpergewicht nach Division durch g.Bezogen auf 1 kg Körpergewicht haben wir folgende Umsätze:1,7 g/s Blut mit 0,26 g/s Hämoglobin, die 0,5 mg/s 0 2tragen und 0,47 mg/s Zucker oxidieren können. Die thermischeLeistung ist 8 W /kg, die mechanische 2 W /kg, Steiggeschwindigkeit0,2 mls = 720 ml h.